112學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用中線長求下底

   $E$、$F$ 分別是兩腰 $\overline{AD}$、$\overline{BC}$ 的中點，所以 $\overline{EF}$ 是梯形的中線，長度等於上下底和的一半。由 $9=\dfrac{7+\overline{DC}}{2}$ 得 $7+\overline{DC}=18$，$\overline{DC}=11$ 公分。
2. 2

   用面積求高

   梯形面積等於上下底之和乘以高再除以 $2$，也就是中線長乘以高。設高為 $h$，則 $9h=54$，得 $h=6$ 公分。
3. 3

   認出平行四邊形 ABGD

   $\overline{AB}//\overline{DC}$ 而 $G$ 在 $\overline{DC}$ 上，所以 $\overline{AB}//\overline{DG}$；又 $\overline{BG}//\overline{AD}$。四邊形 $ABGD$ 兩雙對邊分別平行，是平行四邊形，因此 $\overline{DG}=\overline{AB}=7$，$\overline{GC}=\overline{DC}-\overline{DG}=11-7=4$ 公分。
4. 4

   求 HF 的長

   $\overline{EF}$ 平行於兩底，且 $E$ 是 $\overline{AD}$ 的中點。在平行四邊形 $ABGD$ 中，過 $E$ 且平行於 $\overline{AB}$ 的線段交 $\overline{BG}$ 於中點 $H$，這條線段是平行四邊形的中位線，長度等於 $\overline{AB}=7$，所以 $\overline{EH}=7$，$\overline{HF}=\overline{EF}-\overline{EH}=9-7=2$ 公分。
5. 5

   算四邊形 HGCF 的面積

   $\overline{HF}$ 與 $\overline{GC}$ 都平行於 $\overline{DC}$，所以 $HGCF$ 是梯形，上底 $\overline{HF}=2$、下底 $\overline{GC}=4$。$\overline{EF}$ 是中線，它到 $\overline{DC}$ 的距離是全高的一半，即 $6\div2=3$。面積 $=\dfrac{1}{2}\times(2+4)\times3=9$ 平方公分。
6. 6

   換個方法驗算

   也可以這樣算：$\triangle BGC$ 以 $\overline{GC}=4$ 為底、高為梯形的高 $6$，面積 $=\dfrac{1}{2}\times4\times6=12$；$\triangle BHF$ 以 $\overline{HF}=2$ 為底、高為 $3$，面積 $=\dfrac{1}{2}\times2\times3=3$。相減得 $12-3=9$，與前面一致。所以四邊形 $HGCF$ 的面積為 $9$ 平方公分。

關鍵觀念：#梯形 #中點連線 #面積