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108學年鷺江國中第1次段考數學 第15題 詳解

根式化整求最小正整數倍數 · 單選 · 題目出處：108 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
已知aa為正整數，若2250×a\sqrt{2250\times a}為整數，則aa的最小值為多少？
(A) 0　(B) 5　(C) 10　(D) 1000

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先做質因數分解

    2250=225×10=(32×52)×(2×5)2250=225\times10=(3^2\times5^2)\times(2\times5)，整理得 2250=2×32×532250=2\times3^2\times5^3。
  2. 2

    開根號是整數的條件

    一個正整數開根號後是整數，代表它是完全平方數，也就是分解後每個質因數的次方都是偶數。看 22502250：33 的次方是 22（偶數，沒問題），但 22 的次方是 11、55 的次方是 33，兩個都是奇數。
  3. 3

    把奇數次方補齊

    要把 22 和 55 的次方各補成偶數，最少要再各乘一個，所以 aa 最小是 2×5=102\times5=10。
  4. 4

    驗算並作答

    2250×10=22500=22×32×542250\times10=22500=2^2\times3^2\times5^4，22500=2×3×52=150\sqrt{22500}=2\times3\times5^2=150，確實是整數。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#平方根 #質因數分解

常見卡點
最常見的漏洞是只盯著 55：看到 535^3 的次方是奇數就補一個 55，得 a=5a=5 而選 (B)，卻忘了 22502250 裡還有一個落單的 22；實際上 2250×5=11250=2×32×542250\times5=11250=2\times3^2\times5^4，開根號是 75275\sqrt{2}，不是整數。至於 (D) 的 10001000，雖然也能讓乘積變成完全平方（2250000=1500\sqrt{2250000}=1500），但題目要的是最小值。先分解、再把所有奇數次方的質因數補齊，才是完整做法。

還是卡住嗎？

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