108學年鷺江國中第2次段考數學 第1題 詳解

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逐步解析

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   作圖在做什麼

   作 $\overline{AB}$ 的垂直平分線，標準動作是：以 A 為圓心、某個長度為半徑畫弧，再以 B 為圓心、同一個半徑畫弧，讓兩條弧在 $\overline{AB}$ 的上方與下方各交出一個點，最後把這兩個交點連起來。所以半徑合不合用，關鍵只有一件事——兩條弧碰不碰得到。
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   兩弧要交得到

   設交點是 P。P 在以 A 為圓心的弧上，所以 $\overline{PA}$ 等於半徑 $r$；P 也在以 B 為圓心的弧上，所以 $\overline{PB}$ 也等於 $r$。而 P、A、B 三點要圍出三角形，必須 $\overline{PA}+\overline{PB}>\overline{AB}$，也就是 $$2r>15$$
3. 3

   算出半徑的下限

   由 $2r>15$ 得 $r>7.5$。換句話說，半徑一定要比 $\overline{AB}$ 的一半還長，兩條弧才會相交；剛好等於 $7.5$ 公分時兩弧只在中點碰一下，連不出直線，比 $7.5$ 還短就完全碰不到。
4. 4

   四個選項逐一檢查

   $8$、$10$、$15$ 這三個都大於 $7.5$，畫得出交點；只有 $5$ 公分不到 $\overline{AB}$ 的一半（$2\times5=10<15$），兩條弧離得太遠，根本碰不到。故選 (A)。

關鍵觀念：#垂直平分線 #尺規作圖