108學年鷺江國中第2次段考數學 第23題 詳解

答案$67.5°$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   設一個未知數

   圖裡有三個等腰三角形疊在一起，全部都可以用 $\angle B$ 表示。設 $\angle B=b$。因為 $\overline{AB}=\overline{AC}$，$\triangle ABC$ 是等腰三角形，兩個底角相等，所以 $$\angle ACB=b，\quad \angle A=180°-2b$$
2. 2

   用 AD 等於 DE

   在 $\triangle ADE$ 中 $\overline{AD}=\overline{DE}$。等邊對等角：$\overline{AD}$ 的對角是 $\angle AED$，$\overline{DE}$ 的對角是 $\angle DAE$（也就是 $\angle A$），所以 $$\angle AED=\angle A=180°-2b$$
3. 3

   轉到鄰補角

   E 在 $\overline{AC}$ 上，所以 A、E、C 三點共線，$\angle DEC$ 與 $\angle AED$ 互為鄰補角：$$\angle DEC=180°-(180°-2b)=2b$$
4. 4

   用 DE 等於 EC

   在 $\triangle DEC$ 中 $\overline{DE}=\overline{EC}$，頂角是 $\angle DEC=2b$，兩個底角相等：$$\angle ECD=\angle EDC=\frac{180°-2b}{2}=90°-b$$ 這個 $\angle ECD$ 就是 $\angle ACD$。
5. 5

   用 CD 等於 CB

   在 $\triangle CDB$ 中 $\overline{CD}=\overline{CB}$，兩個底角相等，而 $\angle DBC$ 就是 $\angle B=b$，所以 $\angle CDB=b$，再由內角和 $$\angle DCB=180°-2b$$
6. 6

   把角 ACB 拆開列式

   $\overline{CD}$ 把 $\angle ACB$ 切成 $\angle ACD$ 與 $\angle DCB$ 兩塊：$$\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB$$ $$b=(90°-b)+(180°-2b)$$ $$b=270°-3b$$ $$4b=270°$$ $$b=67.5°$$ 所以 $\angle B=67.5$ 度。驗算：$\angle ACD=22.5°$、$\angle DCB=45°$，相加是 $67.5°$，與 $\angle ACB$ 相符。

關鍵觀念：#等腰三角形 #外角 #角度計算