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108學年鷺江國中第2次段考數學 第18題 詳解

全等三角形求四邊形面積 · 填充 · 題目出處：108 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖（十二），∠1=∠2\angle 1=\angle 2，CD‾⊥AD‾\overline{CD}\perp\overline{AD}，CB‾⊥AB‾\overline{CB}\perp\overline{AB}，若 AB‾=10cm\overline{AB}=10cm，CD‾=8cm\overline{CD}=8cm，則：四邊形 ABCD 的面積為＿＿＿＿
四邊形 ABCD，D 在左上、C 在右上、A 在左下、B 在右下。D 點、B 點皆標示直角記號（$\overline{CD}\perp\overline{AD}$、$\overline{CB}\perp\overline{AB}$）。D 與 C 之間的邊標示長度 $8$；A 與 B 之間的邊標示長度 $10$。對角線 AC 已畫出，A 點處由上往下標示 $\angle 1$（AD 與 AC 之間）、$\angle 2$（AC 與 AB 之間）。

答案8080 平方公分看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    對角線把它切成兩半

    圖（十二）已經畫出對角線 AC‾\overline{AC}，把四邊形 ABCDABCD 切成 △ACD\triangle ACD 與 △ACB\triangle ACB。由 CD‾⊥AD‾\overline{CD}\perp\overline{AD} 得 ∠ADC=90°\angle ADC=90°，由 CB‾⊥AB‾\overline{CB}\perp\overline{AB} 得 ∠ABC=90°\angle ABC=90°，兩塊都是直角三角形。
  2. 2

    證明兩塊全等

    比較 △ACD\triangle ACD 與 △ACB\triangle ACB：∠1=∠2\angle 1=\angle 2（題目給的）、∠ADC=∠ABC=90°\angle ADC=\angle ABC=90°、AC‾\overline{AC} 是共用邊。兩組角相等加上一組非夾邊相等，由 AAS 得 △ACD≅△ACB\triangle ACD\cong\triangle ACB
  3. 3

    補出缺的兩條邊

    由全等的對應邊：AD‾=AB‾=10\overline{AD}=\overline{AB}=10 CB‾=CD‾=8\overline{CB}=\overline{CD}=8 於是兩個直角三角形的兩股都是 1010 與 88。
  4. 4

    加起來就是面積

    △ACD的面積=12×10×8=40\triangle ACD\text{的面積}=\frac{1}{2}\times10\times8=40 △ACB的面積=12×10×8=40\triangle ACB\text{的面積}=\frac{1}{2}\times10\times8=40 四邊形 ABCDABCD 的面積 =40+40=80=40+40=80 平方公分。
答案
8080 平方公分

關鍵觀念：#三角形全等 #面積

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常見卡點
最常見的是算完一個直角三角形就收手，寫成 4040 平方公分——四邊形 ABCDABCD 是兩個全等直角三角形拼起來的，要乘 22。另一個陷阱是把 88 和 1010 當成梯形的上底與下底去套梯形公式，但圖上 DC‾\overline{DC} 與 AB‾\overline{AB} 並不平行，高也沒給。關鍵一步是先看出 ∠1=∠2\angle 1=\angle 2 加上兩個直角與共用的 AC‾\overline{AC}，能把兩塊黏成全等。

還是卡住嗎？

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