108學年鷺江國中第3次段考數學 第1題 詳解

逐步解析

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   大角對大邊有前提

   「大角對大邊」講的是同一個三角形裡面的事：在 $\triangle ABC$ 中有 $\angle A>\angle B$，才能推出 $\overline{BC}>\overline{AC}$。這句話卻是把兩個各自獨立的三角形拿來比，兩者之間沒有任何條件把它們綁在一起。
2. 2

   跨三角形要多加條件

   要用夾角的大小去比兩個三角形的對邊，必須先有兩組邊分別對應相等，也就是 $\overline{AB}=\overline{DE}$ 而且 $\overline{AC}=\overline{DF}$，這才是樞紐定理的使用條件。題目只給了 $\angle A>\angle D$，四條邊長完全自由。
3. 3

   造一個反例

   取 $\triangle ABC$ 中 $\angle A=91^\circ$、$\overline{AB}=\overline{AC}=1$，由三角形兩邊之和大於第三邊得 $\overline{BC}<1+1=2$。再取 $\triangle DEF$ 中 $\angle D=90^\circ$、$\overline{DE}=\overline{DF}=10$，由畢氏定理得 $\overline{EF}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt2$。
4. 4

   反例推翻原句

   這時 $\angle A=91^\circ>\angle D=90^\circ$，可是 $\overline{BC}<2$ 而 $\overline{EF}=10\sqrt2$ 大約 $14.1$，反而是大角的對邊比較短。只要找得到一個反例，原敘述就不成立，所以這句敘述是錯的，本題答 $\times$。

關鍵觀念：#三角形邊角關係 #對應邊比較