108學年鷺江國中第3次段考數學 第30題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把四段化成兩段

   $P^{\prime}$ 是 $P$ 對 $\overline{AC}$ 的對稱點，所以 $\overline{AP^{\prime}}=\overline{AP}$；$P^{\prime\prime}$ 是 $P$ 對 $\overline{BD}$ 的對稱點，所以 $\overline{BP^{\prime\prime}}=\overline{BP}$。四段繩索總長 $=2(\overline{AP}+\overline{BP})$，問題變成讓 $\overline{AP}+\overline{BP}$ 最小。
2. 2

   把折線拉直

   以船板所在的直線（也就是直線 $CD$）為對稱軸，作 $A$ 的對稱點 $A^{\prime}$，它落在船板下方且 $\overline{A^{\prime}C}=\overline{AC}=5$。由對稱得 $\overline{AP}=\overline{A^{\prime}P}$，所以 $\overline{AP}+\overline{BP}=\overline{A^{\prime}P}+\overline{PB}$。
3. 3

   用兩點之間直線最短

   $A^{\prime}$ 和 $B$ 分別在船板的兩側，$\overline{A^{\prime}P}+\overline{PB}$ 是一條從 $A^{\prime}$ 經 $P$ 到 $B$ 的折線，長度不會小於線段 $\overline{A^{\prime}B}$。當 $P$ 取在 $\overline{A^{\prime}B}$ 與船板的交點時，折線被拉成一直線，達到最小值 $\overline{A^{\prime}B}$。
4. 4

   算出最短的直線長

   從 $A^{\prime}$ 到 $B$ 水平跨過 $\overline{CD}=9$，鉛直跨過 $\overline{A^{\prime}C}+\overline{BD}=5+7=12$。由畢氏定理得 $\overline{A^{\prime}B}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{225}=15$。
5. 5

   還原成四段總長

   所以 $\overline{AP}+\overline{BP}$ 的最小值是 $15$，四段繩索長度總和最少為 $2\times15=30$。

關鍵觀念：#對稱 #最短路徑 #反射點