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108學年鷺江國中第3次段考數學 第24題 詳解

平行線間輔助線求角度 · 填充 · 題目出處：108 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，LL//MM，已知∠APB=80°\angle APB=80°，∠1=30°\angle1=30°，求∠2=\angle2=＿＿＿＿＿＿。
上下兩條互相平行的直線，上方標示 $L$、下方標示 $M$；中間另有一條水平的粉紅色虛線 $N$ 通過 $P$ 點（$N$ 與 $L$、$M$ 平行）。$A$ 在 $L$ 上（偏右），$B$ 在 $M$ 上（偏右），$P$ 在 $N$ 上（偏左）。$A$、$P$、$B$ 三點不共線：由 $A$ 往左下到 $P$，再由 $P$ 往右下到 $B$——這是一條在 $P$ 折彎、開口朝右的「<」形折線，題幹的 $\angle APB=80°$ 就是這個折角。角度標示：$\angle1$ 在 $A$ 與 $L$ 的交點，標在交點的左下方（$L$ 向左的射線與 $\overline{AP}$ 所夾）；$\angle3$（粉紅）在 $P$ 點、$N$ 的上側偏右（$N$ 向右的射線與 $\overline{PA}$ 所夾）；$\angle4$（粉紅）在 $P$ 點、$N$ 的下側偏右（$N$ 向右的射線與 $\overline{PB}$ 所夾）；$\angle2$ 在 $B$ 與 $M$ 的交點，標在交點的左上方（$M$ 向左的射線與 $\overline{BP}$ 所夾）。

答案50°50°看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    補一條平行的輔助線

    ∠APB\angle APB 的頂點 PP 卡在 LL 與 MM 之間，兩條平行線暫時用不上。過 PP 作一條直線 NN 同時平行 LL 與 MM（圖上的粉紅虛線），NN 會把 ∠APB\angle APB 切成上下兩個角 ∠3\angle 3 與 ∠4\angle 4。
  2. 2

    用上半部求角三

    NN 平行 LL，被 AP‾\overline{AP} 所截，∠3\angle 3 與 ∠1\angle 1 是一組內錯角，所以 ∠3=∠1=30∘\angle 3=\angle 1=30^\circ。
  3. 3

    扣出下半部的角四

    ∠APB\angle APB 被 NN 切成 ∠3\angle 3 與 ∠4\angle 4 兩塊，所以 ∠4=∠APB−∠3=80∘−30∘=50∘\angle 4=\angle APB-\angle 3=80^\circ-30^\circ=50^\circ。
  4. 4

    用下半部求角二

    NN 平行 MM，被 BP‾\overline{BP} 所截，∠2\angle 2 與 ∠4\angle 4 是一組內錯角，所以 ∠2=∠4=50∘\angle 2=\angle 4=50^\circ。
答案
50°50°

關鍵觀念：#平行線 #輔助線 #角度計算

常見卡點
沒補輔助線就硬湊關係是這題最容易翻車的地方。常見的錯法是把角一、角二和八十度全塞進三角形內角和，寫成三十加八十加角二等於一百八十而得七十度，但折點並沒有和另外兩點圍成三角形，這個式子根本不成立。先補平行線把折角拆兩半，路就通了。

還是卡住嗎？

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