108學年鷺江國中第3次段考數學 第28題 詳解

逐步解析

1. 1

   用箏形的對角線性質

   箏形 $ABCD$ 中 $\overline{AB}=\overline{AD}$、$\overline{CB}=\overline{CD}$，所以對角線 $\overline{AC}$ 垂直平分 $\overline{BD}$，交點設為 $O$，並且 $\overline{AC}$ 平分 $\angle BAD$ 與 $\angle BCD$。因此 $\angle BAO=45^\circ$、$\angle BCO=30^\circ$。
2. 2

   解上半個直角三角形

   $\triangle ABO$ 中 $\angle AOB=90^\circ$、$\angle BAO=45^\circ$，是等腰直角三角形，邊長比為 $1:1:\sqrt2$。斜邊 $\overline{AB}=20$，所以 $\overline{AO}=\overline{BO}=\frac{20}{\sqrt2}=10\sqrt2$。
3. 3

   解下半個直角三角形

   $\triangle BOC$ 中 $\angle BOC=90^\circ$、$\angle BCO=30^\circ$，是 $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ 的直角三角形。對 $30^\circ$ 的邊是 $\overline{BO}$、對 $60^\circ$ 的邊是 $\overline{OC}$，兩者比為 $1:\sqrt3$，所以 $\overline{OC}=\sqrt3\times10\sqrt2=10\sqrt6$。
4. 4

   算出兩條對角線

   $\overline{BD}=2\overline{BO}=20\sqrt2$。至於 $\overline{AC}$，$O$ 並不是它的中點，要把兩段相加：$\overline{AC}=\overline{AO}+\overline{OC}=10\sqrt2+10\sqrt6$。
5. 5

   用對角線算面積

   兩條對角線互相垂直，面積 $=\frac12\times\overline{AC}\times\overline{BD}=\frac12\times(10\sqrt2+10\sqrt6)\times20\sqrt2=10\sqrt2\times(10\sqrt2+10\sqrt6)=200+200\sqrt3$。所以風箏面積為 $200+200\sqrt3$ 平方公分。

關鍵觀念：#箏形 #對角線 #面積計算