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108學年鷺江國中第3次段考數學 第29題 詳解

平行四邊形立體視覺圖求角度 · 填充 · 題目出處：108 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖是利用平行四邊形創造出立體視覺效果的一幅畫，若∠1=60°\angle1=60°、∠2=120°\angle2=120°，則∠3=\angle3=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
一幅由黃、橙色菱形（平行四邊形）拼成、產生立體方塊視覺效果的鋪磚圖，外加木框裝飾。與題目有關的是三個鋪磚頂點（不是兩個）： $V_1$（上方頂點，六片菱形在此相會）：$\angle1$（標在橙色菱形內）與 $\angle4$（紅色）都在這裡。通過 $V_1$ 的磚縫有兩組是各自連成一直線、直接穿過 $V_1$ 繼續延伸到另一側的（其中一組是鉛直方向那條），而 $\angle1$ 與 $\angle4$ 正好落在這兩條直線所夾出來的、位置相對的兩個角上。 $V_2$（下方頂點，三片相會）：$\angle6$（紅色）、$\angle5$（紅色）、$\angle3$（黑色）三個角都在這裡，三片菱形在 $V_2$ 周圍鋪滿一整圈。 $V_3$（第三個頂點，在 $V_1$ 右上方、三片相會）：只有 $\angle2$（黑色）在這裡——$\angle2$ 離 $V_1$ 有一段距離，不在 $V_1$ 上。 兩組同屬一塊磚的關係：$\angle2$ 與 $\angle6$ 分屬同一塊金黃色菱形的一組對角；$\angle4$（在 $V_1$）與 $\angle5$（在 $V_2$）則落在同一塊橙色菱形上，$V_1$ 與 $V_2$ 是那塊菱形相鄰的兩個頂點，所以這兩個角是那塊菱形相鄰的兩個角。

答案120°120°看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先確定磚塊只有兩種角

    整幅畫是同一種菱形（平行四邊形）鋪成的。∠1=60∘\angle 1=60^\circ 是其中一塊的銳角，同一塊菱形的鄰角就是 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ。所以畫面上每一個磚角不是 60∘60^\circ 就是 120∘120^\circ，題目給的 ∠2=120∘\angle 2=120^\circ 正好是鈍角那一種。
  2. 2

    由角一推到角四

    ∠1\angle 1 和 ∠4\angle 4 長在同一個頂點上，兩個角的兩組邊分別互為反向延長線，是一組對頂角，所以 ∠4=∠1=60∘\angle 4=\angle 1=60^\circ。
  3. 3

    由角四推到角五

    ∠4\angle 4 與 ∠5\angle 5 是同一塊橙色菱形上相鄰的兩個角，平行四邊形的鄰角互補，所以 ∠5=180∘−60∘=120∘\angle 5=180^\circ-60^\circ=120^\circ。
  4. 4

    由角二推到角六

    ∠6\angle 6 與 ∠2\angle 2 是同一塊金黃色菱形上相對的兩個角，平行四邊形的對角相等，所以 ∠6=∠2=120∘\angle 6=\angle 2=120^\circ。注意 ∠2\angle 2 並不是長在 ∠1\angle 1 那個頂點上，它離那個頂點還有一段距離。
  5. 5

    在同一頂點繞一圈

    ∠3\angle 3、∠5\angle 5、∠6\angle 6 共用同一個頂點，三塊磚在那裡剛好鋪滿一整圈，所以 ∠3=360∘−∠5−∠6=360∘−120∘−120∘=120∘\angle 3=360^\circ-\angle 5-\angle 6=360^\circ-120^\circ-120^\circ=120^\circ。
答案
120°120°

關鍵觀念：#平行四邊形 #立體視覺錯覺 #角度計算

常見卡點
這種立體視覺圖最容易錯在角標歸屬：把角二看成長在角一那個頂點上，就會湊出六十加一百二十加某個角等於三百六十，算出一百八十度這種不可能的結果。下筆前先把每個角的頂點圈出來，確認哪些角共用同一個頂點、哪些角落在同一塊磚上，關係就清楚了。

還是卡住嗎？

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