109學年鷺江國中第2次段考數學 第3題 詳解

逐步解析

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   先找一個反例

   「任一正整數」是很強的說法，只要找到一個不符合的數就能推翻它。把 $6$ 的正因數全部列出來：$1$、$2$、$3$、$6$，共 $4$ 個，是偶數個，不是奇數個。
2. 2

   想清楚為什麼成對

   因數天生成對出現：如果 $d$ 是 $n$ 的因數，那麼 $n\div d$ 也一定是 $n$ 的因數，兩個湊成一組。$6$ 的配對是 $1\times6$ 與 $2\times3$，兩組共 $4$ 個，所以是偶數個。
3. 3

   哪種數才是奇數個

   只有當某一組配對「自己配自己」時才會少算一個，也就是 $n$ 是完全平方數的情形。例如 $9$ 的因數是 $1$、$3$、$9$ 共 $3$ 個，配對是 $1\times9$ 與 $3\times3$；$16$ 的因數是 $1$、$2$、$4$、$8$、$16$ 共 $5$ 個。所以只有完全平方數的因數個數才是奇數。
4. 4

   下判斷

   不是每個正整數都是完全平方數，像 $6$ 就有 $4$ 個因數，所以「任一正整數的因數個數皆是奇數個」不成立，本題應判「×」。

關鍵觀念：#因數個數