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109學年鷺江國中第1次段考數學 第14題 詳解

兩聯立方程式同解求係數 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
香奈惠、香奈乎兩姊妹一同去闖關，關主給的題目是二元一次聯立方程式 {3x−y=5ax−by=1\begin{cases}3x-y=5\\ax-by=1\end{cases} 與 {−x+y=−1ax+by=7\begin{cases}-x+y=-1\\ax+by=7\end{cases}，關主提示：兩聯立方程式有相同的解，則 a−b=a-b=？

答案−1-1看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    抓出四式共同的解

    「兩個聯立有相同的解」表示同一組 xx、yy 會同時滿足四個方程式。其中 3x−y=53x-y=5 和 −x+y=−1-x+y=-1 的係數都是已知的，先把這兩式湊成一組，就能先把 xx、yy 解出來。
  2. 2

    解出 x 與 y

    兩式相加：(3x−y)+(−x+y)=5+(−1)(3x-y)+(-x+y)=5+(-1)，得 2x=42x=4，所以 x=2x=2。代回 −x+y=−1-x+y=-1 得 −2+y=−1-2+y=-1，所以 y=1y=1。
  3. 3

    代入含 a、b 的兩式

    把 x=2x=2、y=1y=1 代入 ax−by=1ax-by=1 得 2a−b=12a-b=1；代入 ax+by=7ax+by=7 得 2a+b=72a+b=7。
  4. 4

    解出 a、b 再相減

    兩式相加得 4a=84a=8，所以 a=2a=2；代回 2a+b=72a+b=7 得 4+b=74+b=7，所以 b=3b=3。因此 a−b=2−3=−1a-b=2-3=-1。
答案
−1-1

關鍵觀念：#二元一次聯立方程式 #同解方程式

常見卡點
「有相同的解」的意思是同一組 xx、yy 同時滿足四個方程式，所以可以把係數已知的 3x−y=53x-y=5 與 −x+y=−1-x+y=-1 湊成一組先解。最常見的錯是照原本的配對，硬把 3x−y=53x-y=5 和 ax−by=1ax-by=1 綁在一起解，式子裡還有 aa、bb，根本解不出數字。另一個是算完 a=2a=2、b=3b=3 後答成 a+b=5a+b=5。

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