110學年鷺江國中第2次段考數學 第23題 詳解

逐步解析

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   第一小題：畫出直線 L

   二元一次方程式的圖形是一條直線，兩個點就能決定它，所以挑最好算的兩個解。$L$：$x-y=3$，令 $x=0$ 得 $-y=3$，$y=-3$，得點 $(0,-3)$；令 $y=0$ 得 $x=3$，得點 $(3,0)$。在坐標平面上描出 $(0,-3)$ 與 $(3,0)$，用直尺連成一條直線並向兩端延長，標上 $L$，就是 $L$ 的圖形。
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   第一小題：畫出直線 M

   同樣方法處理 $M$：$2x+y=6$，令 $x=0$ 得 $y=6$，得點 $(0,6)$；令 $y=0$ 得 $2x=6$，$x=3$，得點 $(3,0)$。描出 $(0,6)$ 與 $(3,0)$ 並連成直線、標上 $M$。兩條直線都畫好之後，可以看出它們相交在 $x$ 軸上的同一個位置。
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   第二小題：聯立求交點

   設交點的坐標為 $(x,y)$。交點同時落在 $L$ 與 $M$ 上，所以它的坐標必須同時滿足兩個方程式，列出聯立：$x-y=3$（①）、$2x+y=6$（②）。①的 $-y$ 與②的 $+y$ 互為相反數，兩式相加可消去 $y$：$3x=9$，$x=3$；代回①得 $3-y=3$，$y=0$。答：交點坐標為 $(3,0)$，理由是這組數同時滿足兩個方程式，也就是兩直線的公共點。
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   第三小題：找出三角形的頂點

   圍成三角形的三條邊是 $L$、$M$ 和 $y$ 軸，三個頂點就是這三條線兩兩的交點：$L$ 與 $y$ 軸交於 $(0,-3)$，$M$ 與 $y$ 軸交於 $(0,6)$，$L$ 與 $M$ 交於 $(3,0)$。
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   第三小題：算出面積

   有兩個頂點都在 $y$ 軸上，就把 $y$ 軸上那一段當底：底長 $=6-(-3)=9$。第三個頂點 $(3,0)$ 到 $y$ 軸的水平距離就是這個底邊上的高，高 $=|3|=3$。三角形面積等於底乘高再除以 $2$，代入得 $\dfrac{9\times3}{2}=\dfrac{27}{2}$。答：所圍成的三角形面積為 $\dfrac{27}{2}$ 平方單位。

關鍵觀念：#二元一次方程式 #聯立方程式 #坐標平面 #三角形面積