110學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先釐清目標

   要作出通過線外一點 $P$ 且與直線 $L$ 垂直的直線。只要能找到另一個點 $Q$，使 $P$、$Q$ 對 $L$ 左右對稱，$\overleftrightarrow{PQ}$ 就一定垂直於 $L$。
2. 2

   檢查康康的作法

   以 $P$ 為圓心畫弧交 $L$ 於 $A$、$B$，得 $\overline{PA}=\overline{PB}$，表示 $P$ 在 $\overline{AB}$ 的垂直平分線上；第二步作出的 $Q$ 滿足 $\overline{QA}=\overline{QB}$，也在同一條垂直平分線上。兩點決定一直線，$\overleftrightarrow{PQ}$ 就是 $\overline{AB}$ 的垂直平分線，當然垂直於 $L$。
3. 3

   檢查軒軒的作法

   在 $L$ 上任取 $A$、$B$，再以 $A$ 為圓心 $\overline{PA}$ 為半徑、以 $B$ 為圓心 $\overline{PB}$ 為半徑畫弧，兩弧除了交於 $P$ 之外，還交於另一點 $Q$，且 $\overline{QA}=\overline{PA}$、$\overline{QB}=\overline{PB}$。
4. 4

   說明軒軒也對

   由 $\overline{PA}=\overline{QA}$、$\overline{PB}=\overline{QB}$ 與共用邊 $\overline{AB}$，得 $\triangle PAB\cong\triangle QAB$，所以 $Q$ 與 $P$ 對 $L$ 對稱，$\overleftrightarrow{PQ}\perp L$，作法同樣正確。
5. 5

   下結論

   兩人的作法都能作出 $L$ 的垂線，故選 (C)。

關鍵觀念：#尺規作圖 #垂線