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110學年鷺江國中第2次段考數學 第11題 詳解

垂直平分線與角平分線求角度 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，△ABC\triangle ABC中，DD、EE兩點分別在AC‾\overline{AC}、BC‾\overline{BC}上，DE‾\overline{DE}為BC‾\overline{BC}的垂直平分線，BD‾\overline{BD}為∠ADE\angle ADE的角平分線，若∠A=59°\angle A=59°，則∠ABD\angle ABD的度數為何？
(A) 62°
(B) 59°
(C) 60°
(D) 61°
三角形 $ABC$：$A$ 在左上、$B$ 在左下、$C$ 在右下（$\overline{BC}$ 為水平的底邊，$\overline{AC}$ 由左上往右下傾斜）。$D$ 在 $\overline{AC}$ 上、$E$ 在 $\overline{BC}$ 上。圖上另外只畫了兩條線段：$\overline{BD}$（由 $B$ 往右上連到 $D$）與 $\overline{DE}$（由 $D$ 鉛直向下連到 $E$，與 $\overline{BC}$ 垂直）。

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    讀出兩個條件

    DE‾\overline{DE} 是 BC‾\overline{BC} 的垂直平分線，所以 DE‾⊥BC‾\overline{DE}\perp\overline{BC} 且 DB‾=DC‾\overline{DB}=\overline{DC}；另外 BD‾\overline{BD} 平分 ∠ADE\angle ADE。
  2. 2

    設角往外推

    設 ∠C=x\angle C=x。由 DB‾=DC‾\overline{DB}=\overline{DC} 知 △DBC\triangle DBC 是等腰三角形，故 ∠DBC=∠C=x\angle DBC=\angle C=x，於是 ∠BDC=180°−2x\angle BDC=180°-2x。
  3. 3

    湊出角平分線的等式

    AA、DD、CC 共線，所以 ∠ADB=180°−∠BDC=2x\angle ADB=180°-\angle BDC=2x。又 △BDE\triangle BDE 中 ∠DEB=90°\angle DEB=90°、∠DBE=x\angle DBE=x，故 ∠BDE=90°−x\angle BDE=90°-x。由 BD‾\overline{BD} 平分 ∠ADE\angle ADE 得 ∠ADB=∠BDE\angle ADB=\angle BDE。
  4. 4

    解出 x

    由 2x=90°−x2x=90°-x 得 3x=90°3x=90°，所以 x=30°x=30°，於是 ∠ADB=2×30°=60°\angle ADB=2\times30°=60°。
  5. 5

    回三角形求所求

    在 △ABD\triangle ABD 中，∠ABD=180°−∠A−∠ADB=180°−59°−60°=61°\angle ABD=180°-\angle A-\angle ADB=180°-59°-60°=61°，故選 (D)。
答案
(D)

關鍵觀念：#垂直平分線 #角平分線 #三角形內角

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常見卡點
算到 ∠ADB=60°\angle ADB=60° 就停手、直接把 60°60° 當答案，是這題最常見的失分。60°60° 只是 △ABD\triangle ABD 裡的一個角，題目要的是 ∠ABD\angle ABD，還得再用一次內角和。另一個坑是沒看出 DB‾=DC‾\overline{DB}=\overline{DC}：垂直平分線的重點不只是把 BC‾\overline{BC} 切一半，更是讓 DD 到 BB、CC 等距。

還是卡住嗎？

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