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110學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

內心到三邊距離求和 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，△ABC\triangle ABC中OA‾\overline{OA}、OB‾\overline{OB}、OC‾\overline{OC}為∠A\angle A、∠B\angle B、∠C\angle C的角平分線，且OF‾⊥AB‾\overline{OF}\perp\overline{AB}、OE‾⊥AC‾\overline{OE}\perp\overline{AC}、OD‾⊥BC‾\overline{OD}\perp\overline{BC}，且AB‾=14\overline{AB}=14、AC‾=13\overline{AC}=13、BC‾=15\overline{BC}=15、OD‾=4\overline{OD}=4，則：OE‾+OF‾=\overline{OE}+\overline{OF}=？
(A) 4
(B) 8
(C) 10
(D) 12
三角形ABC：A在上方頂點，B在左下、C在右下。O為內部一點（三條角平分線AO、BO、CO的交點）。由O分別畫垂線到三邊：OF垂直於AB於F點（AB邊左上側，有直角記號）、OE垂直於AC於E點（AC邊右側，有直角記號）、OD垂直於BC於D點（BC邊上，有直角記號）。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    認出 O 的身分

    OA‾\overline{OA}、OB‾\overline{OB}、OC‾\overline{OC} 分別是 ∠A\angle A、∠B\angle B、∠C\angle C 的角平分線，三條角平分線的交點 OO 就是 △ABC\triangle ABC 的內心。
  2. 2

    用角平分線的性質

    角平分線上的點到角的兩邊距離相等。OO 在 ∠B\angle B 的角平分線上，所以 OO 到 AB‾\overline{AB} 與到 BC‾\overline{BC} 的距離相等，即 OF‾=OD‾\overline{OF}=\overline{OD}。
  3. 3

    三段一起相等

    同理 OO 也在 ∠C\angle C 的角平分線上，得 OE‾=OD‾\overline{OE}=\overline{OD}。於是 OD‾=OE‾=OF‾=4\overline{OD}=\overline{OE}=\overline{OF}=4。
  4. 4

    算出所求

    題目只要兩段：OE‾+OF‾=4+4=8\overline{OE}+\overline{OF}=4+4=8，故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#角平分線 #內心 #垂足

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常見卡點
AB‾=14\overline{AB}=14、AC‾=13\overline{AC}=13、BC‾=15\overline{BC}=15 全是用不到的數字，不少人硬要拿它們去湊比例。真正的關鍵只有一句：OO 是內心，到三邊的距離都相等，所以三段都是 44。另一個常見失誤是看懂等距之後一口氣把三段全加，寫成 1212，但題目只要 OE‾+OF‾\overline{OE}+\overline{OF} 兩段。

還是卡住嗎？

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