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110學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

四邊形外角和大小關係判斷 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如（圖四），四邊形ABCDABCD中，∠1\angle1、∠2\angle2、∠3\angle3分別為∠A\angle A、∠B\angle B、∠C\angle C的外角。判斷下列大小關係何者正確？
(A) ∠1+∠3=∠ABC+∠D\angle1+\angle3=\angle ABC+\angle D
(B) ∠1+∠3<∠ABC+∠D\angle1+\angle3<\angle ABC+\angle D
(C) ∠1+∠2+∠3=360°\angle1+\angle2+\angle3=360°
(D) ∠1+∠2+∠3>360°\angle1+\angle2+\angle3>360°
圖四：四邊形ABCD（B在左下、C在右下、A在B右上方、D在A右下方，A、D之間有一段轉折），底邊B到C為一直線。三個外角以延長邊表示：在A處，延伸B到A的邊超過A，形成的外角標示為1；在B處，延伸C到B的邊超過B（向左延伸），形成的外角標示為2；在 $C$ 處，延伸 $B$ 到 $C$ 的邊超過 $C$（沿底線向右延伸），形成的外角標示為3。

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    把外角寫成補角

    ∠1\angle1、∠2\angle2、∠3\angle3 分別是 ∠A\angle A、∠ABC\angle ABC、∠C\angle C 的外角，所以 ∠1=180°−∠A\angle1=180°-\angle A、∠2=180°−∠ABC\angle2=180°-\angle ABC、∠3=180°−∠C\angle3=180°-\angle C。
  2. 2

    用四邊形內角和

    四邊形 ABCDABCD 的內角和為 360°360°，即 ∠A+∠ABC+∠C+∠D=360°\angle A+\angle ABC+\angle C+\angle D=360°，移項得 ∠A+∠C=360°−∠ABC−∠D\angle A+\angle C=360°-\angle ABC-\angle D。
  3. 3

    檢查 (A)、(B)

    ∠1+∠3=360°−(∠A+∠C)=360°−(360°−∠ABC−∠D)=∠ABC+∠D\angle1+\angle3=360°-(\angle A+\angle C)=360°-(360°-\angle ABC-\angle D)=\angle ABC+\angle D。兩者相等，所以 (A) 成立而 (B) 不成立。
  4. 4

    檢查 (C)、(D)

    ∠1+∠2+∠3=540°−(∠A+∠ABC+∠C)=540°−(360°−∠D)=180°+∠D\angle1+\angle2+\angle3=540°-(\angle A+\angle ABC+\angle C)=540°-(360°-\angle D)=180°+\angle D。因為 0°<∠D<180°0°<\angle D<180°，這個和只會介於 180°180° 與 360°360° 之間，(C)、(D) 都不成立。
  5. 5

    下結論

    四個選項裡只有第一個的關係永遠成立，故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#四邊形 #外角

常見卡點
(C) 是最大的誘答：背熟「多邊形一組外角和為 360°360°」就直覺勾它。但一組外角要四個頂點都取，圖上只標了 AA、BB、CC 三處，少了 DD 那一個。三個加起來其實是 180°+∠D180°+\angle D，只有 ∠D=180°\angle D=180° 時才會等於 360°360°，那時四邊形早就不成立了。

還是卡住嗎？

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