110學年鷺江國中第2次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   目標與已知

   要證 $\overline{BP}$ 平分 $\angle ABC$，就是要證 $\angle EBP=\angle DBP$。手上的已知只有 $\overline{PE}=\overline{PD}$，再加上 $\overline{BP}$ 是兩個三角形的共用邊。
2. 2

   檢查 (B) 與 (C)

   加上 (B) $\angle EPB=\angle DPB$，這個角正好夾在 $\overline{PE}$、$\overline{PB}$ 與 $\overline{PD}$、$\overline{PB}$ 之間，用 SAS 得 $\triangle EPB\cong\triangle DPB$。加上 (C) $\overline{BE}=\overline{BD}$，則三邊分別相等，用 SSS 也全等。兩者都能證。
3. 3

   檢查 (D)

   加上 (D) $\angle BEP=\angle BDP=90°$，兩個三角形都成了直角三角形，斜邊 $\overline{BP}$ 共用、股 $\overline{PE}=\overline{PD}$，用 RHS 得全等，也能證。
4. 4

   檢查 (A)

   加上 (A) $\angle BEP=\angle BDP$，但這個角並沒有夾在 $\overline{PE}$ 與 $\overline{PB}$ 之間，湊出來的是「兩邊與其中一邊的對角」，也就是 SSA。
5. 5

   下結論

   SSA 無法保證兩個三角形全等，所以只有這個條件推不出 $\overline{BP}$ 平分 $\angle ABC$，故選 (A)。

關鍵觀念：#角平分線 #全等三角形判定

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