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110學年鷺江國中第3次段考數學 第13題 詳解

中線長度不等式判斷 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，△ABC\triangle ABC 中，MM 為 BC‾\overline{BC} 的中點，下列何者正確?
(A) AM‾+BM‾>AC‾\overline{AM}+\overline{BM}>\overline{AC}
(B) AM‾+BM‾=AC‾\overline{AM}+\overline{BM}=\overline{AC}
(C) AM‾+BM‾<AC‾\overline{AM}+\overline{BM}<\overline{AC}
(D) 條件不足，AM‾+BM‾\overline{AM}+\overline{BM} 和 AC‾\overline{AC} 無法比較大小
三角形 ABC：A 在上方頂點，B、C 為底邊兩端點（B 左、C 右）。M 在 BC 上，從 A 到 M 畫一條線段，將三角形分成左右兩塊 △ABM 與 △ACM。

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    把 BM 換掉

    MM 是 BC‾\overline{BC} 的中點，所以 BM‾=MC‾\overline{BM}=\overline{MC}。於是要比較的 AM‾+BM‾\overline{AM}+\overline{BM} 可以改寫成 AM‾+MC‾\overline{AM}+\overline{MC}，三條線段就全部集中到圖形的右半邊了。
  2. 2

    看右半個三角形

    AA、MM、CC 三點不共線，圍成 △AMC\triangle AMC。在這個三角形裡，AM‾\overline{AM} 與 MC‾\overline{MC} 是兩邊，AC‾\overline{AC} 正好是第三邊。
  3. 3

    用三邊關係

    由三角形任意兩邊和大於第三邊，AM‾+MC‾>AC‾\overline{AM}+\overline{MC}>\overline{AC}。把 MC‾\overline{MC} 換回 BM‾\overline{BM}，得到 AM‾+BM‾>AC‾\overline{AM}+\overline{BM}>\overline{AC}。
  4. 4

    下結論

    這個不等式與 △ABC\triangle ABC 長什麼樣子無關，只要 MM 是 BC‾\overline{BC} 的中點就一定成立，並不是條件不足。故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#三角形中線 #三角形不等式

常見卡點
最容易掉進去的是 D選項「條件不足」：圖上 AM‾\overline{AM} 和 AC‾\overline{AC} 看起來差不多長，就以為要知道實際邊長才比得出來。其實把 BM‾\overline{BM} 換成 MC‾\overline{MC} 之後，兩段合起來就是從 AA 繞經 MM 再到 CC 的折線，一定比直線 AC‾\overline{AC} 長。看到中點，先想「把它搬到另一半」。

還是卡住嗎？

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