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110學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

四邊形對角線性質綜合判斷 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
四邊形 ABCDABCD 中，兩條對角線 AC‾\overline{AC} 與 BD‾\overline{BD} 相交於 OO 點。則:
(1)菱形:AC‾⊥BD‾\overline{AC}\perp\overline{BD}、AO‾=CO‾\overline{AO}=\overline{CO}，BO‾=DO‾\overline{BO}=\overline{DO}。
(2)長方形:AC‾=BD‾\overline{AC}=\overline{BD}、AO‾=CO‾\overline{AO}=\overline{CO}，BO‾=DO‾\overline{BO}=\overline{DO}。
(3)正方形:AC‾⊥BD‾\overline{AC}\perp\overline{BD}、AC‾=BD‾\overline{AC}=\overline{BD}、AO‾=CO‾\overline{AO}=\overline{CO}，BO‾=DO‾\overline{BO}=\overline{DO}
(4)平行四邊形:AO‾=CO‾\overline{AO}=\overline{CO}，BO‾=DO‾\overline{BO}=\overline{DO}
(A) 僅(1)、(3) 正確 (B) 僅(2)、(4) 正確 (C) 皆正確 (D) 皆不正確

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先抓共同點

    菱形、長方形、正方形都是平行四邊形，而平行四邊形的對角線一定互相平分，所以 AO‾=CO‾\overline{AO}=\overline{CO}、BO‾=DO‾\overline{BO}=\overline{DO} 這一條在四個敘述中全部成立，(4) 正確。
  2. 2

    檢查菱形

    菱形四邊等長，BA‾=BC‾\overline{BA}=\overline{BC} 且 DA‾=DC‾\overline{DA}=\overline{DC}，所以 BB、DD 都落在 AC‾\overline{AC} 的中垂線上，得 AC‾⊥BD‾\overline{AC}\perp\overline{BD}。再加上互相平分，(1) 正確。
  3. 3

    檢查長方形

    長方形四個角都是直角，△ABC\triangle ABC 與 △BAD\triangle BAD 中有 AB‾=BA‾\overline{AB}=\overline{BA}、∠ABC=∠BAD=90°\angle ABC=\angle BAD=90°、BC‾=AD‾\overline{BC}=\overline{AD}，由 SAS 全等得 AC‾=BD‾\overline{AC}=\overline{BD}。再加上互相平分，(2) 正確。
  4. 4

    檢查正方形

    正方形同時是菱形也是長方形，所以垂直、等長、互相平分三件事全都有，(3) 正確。四個敘述都成立，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#四邊形對角線性質 #菱形 #長方形 #正方形 #平行四邊形

常見卡點
這題常錯在把「互相平分」和「長度相等」當成同一件事。菱形的兩條對角線互相垂直平分，長度卻不同；長方形的兩條對角線等長且互相平分，卻不垂直。只要先確認這四種圖形都是平行四邊形，(4) 就一定對，也就能立刻排除那些只承認部分敘述的選項。

還是卡住嗎？

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