111學年鷺江國中第1次段考數學 第24題 詳解

答案(1) 略（證明題） (2) $\dfrac{8}{5}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先找出平行關係

   $ABCD$ 是正方形，所以 $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$。題目又說 $C$ 在 $\overline{BG}$ 上，表示 $B$、$C$、$G$ 三點共線，也就是 $\overline{BC}$ 與 $\overline{CG}$ 落在同一條直線上。因此 $\overline{AD}\parallel\overline{CG}$。
2. 2

   第 1 小題：說明相似

   $\overline{AG}$ 是截過這兩條平行線的截線，由 $\overline{AD}\parallel\overline{CG}$ 得 $\angle DAP=\angle CGP$（內錯角相等）。又 $\angle APD=\angle GPC$（對頂角相等），第三組角自然也相等。三組對應角分別相等，由 AAA 相似性質可得 $\triangle ADP\sim\triangle GCP$。對應頂點是 $A$ 對 $G$、$D$ 對 $C$、$P$ 對 $P$。
3. 3

   算出對應邊比與 CP

   由 $\triangle ADP\sim\triangle GCP$，對應邊得 $\overline{DP}:\overline{CP}=\overline{AD}:\overline{GC}$。其中 $\overline{AD}=6$ 是正方形 $ABCD$ 的邊長，$\overline{GC}=4$ 是正方形 $CEFG$ 的邊長，所以 $\overline{DP}:\overline{CP}=6:4=3:2$。又 $P$ 在 $\overline{CD}$ 上，$\overline{DP}+\overline{CP}=\overline{CD}=6$，故 $\overline{CP}=6\times\dfrac{2}{3+2}=\dfrac{12}{5}$。
4. 4

   第 2 小題：求 EP

   正方形 $CEFG$ 中 $\overline{CE}=4$，且 $E$ 與 $D$ 同在 $C$ 的正上方，也就是 $E$ 落在 $\overline{CD}$ 上，而 $P$ 在 $C$ 與 $E$ 之間。因此 $\overline{EP}=\overline{CE}-\overline{CP}=4-\dfrac{12}{5}=\dfrac{20}{5}-\dfrac{12}{5}=\dfrac{8}{5}$。所求 $\overline{EP}=\dfrac{8}{5}$。

關鍵觀念：#相似三角形證明 #正方形 #比例線段