111學年鷺江國中第1次段考數學 第23題 詳解

逐步解析

1. 1

   先把長度換成比

   橋長 $\overline{AB}=350$ 公尺，龜裂處 $C$ 距橋頭 $A$ 有 $140$ 公尺，所以 $\overline{AC}:\overline{AB}=140:350=2:5$。又 $\overline{CB}=350-140=210$，得 $\overline{AC}:\overline{CB}=140:210=2:3$。作圖的目標，就是把 $\overline{AB}$ 分成 $2:3$ 的兩段。
2. 2

   作一條輔助射線

   以 $A$ 為端點，往 $\overline{AB}$ 的某一側作一條射線 $AX$，只要不和 $\overline{AB}$ 重疊即可，角度可以任意選。等分的動作要搬到這條自由的射線上做，因為直尺沒有刻度，不能直接在 $\overline{AB}$ 上量長度。
3. 3

   在射線上截出五等分

   把圓規張開成一個固定半徑（長度任意），從 $A$ 出發在射線 $AX$ 上依序截出五個點 $P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$、$P_5$，使 $\overline{AP_1}=\overline{P_1P_2}=\overline{P_2P_3}=\overline{P_3P_4}=\overline{P_4P_5}$。這樣 $\overline{AP_2}:\overline{P_2P_5}=2:3$。
4. 4

   連線後作平行線

   連接 $\overline{P_5B}$。再過 $P_2$ 作一條平行於 $\overline{P_5B}$ 的直線：用圓規在 $P_2$ 處作一個與 $\angle AP_5B$ 相等的同位角即可。這條平行線與 $\overline{AB}$ 的交點就是所求的點，把它標示為 $C$。
5. 5

   說明這樣作為什麼對

   因為 $\overline{P_2C}\parallel\overline{P_5B}$，由平行線截比例線段可得 $\overline{AC}:\overline{CB}=\overline{AP_2}:\overline{P_2P_5}=2:3$。於是 $\overline{AC}=350\times\dfrac{2}{2+3}=350\times\dfrac{2}{5}=140$ 公尺，正是橋頭到龜裂處的距離，所以 $C$ 就是龜裂處。作答時射線、五個等距點與平行線的作圖痕跡全部保留，不要擦掉。

關鍵觀念：#尺規作圖 #比例線段 #生活應用