111學年鷺江國中第1次段考數學 第21題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先從圖上讀出位置

   $\overline{AB}$ 是小正方形的上邊、$\overline{BE}$ 是大正方形的上邊，由圖可知 $A$、$B$、$E$ 三點共線，所以 $\overline{AE}=\overline{AB}+\overline{BE}=4+12=16$。另一方面 $B$、$C$、$G$ 三點共線，$\overline{BC}=4$、$\overline{BG}=12$。$P$、$Q$ 都落在 $\overline{BG}$ 上，只要分別求出 $\overline{BP}$ 與 $\overline{BQ}$ 再相減即可。
2. 2

   用相似求 BP

   $\overline{BG}$ 與 $\overline{EF}$ 都垂直於直線 $AE$，所以 $\overline{BP}\parallel\overline{EF}$。$P$ 在 $\overline{AF}$ 上、$B$ 在 $\overline{AE}$ 上，得 $\triangle ABP\sim\triangle AEF$，於是 $\dfrac{\overline{BP}}{\overline{EF}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AE}}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$，所以 $\overline{BP}=12\times\dfrac{1}{4}=3$。
3. 3

   用相似求 BQ

   把 $\overline{DC}$ 往右延長，交 $\overline{EF}$ 於 $H$。此時 $\overline{CH}=\overline{BE}=12$，故 $\overline{DH}=\overline{DC}+\overline{CH}=4+12=16$；又 $\overline{EH}=\overline{BC}=4$，故 $\overline{HF}=\overline{EF}-\overline{EH}=12-4=8$。因為 $\overline{CQ}\parallel\overline{HF}$，得 $\triangle DCQ\sim\triangle DHF$，$\dfrac{\overline{CQ}}{\overline{HF}}=\dfrac{\overline{DC}}{\overline{DH}}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$，所以 $\overline{CQ}=8\times\dfrac{1}{4}=2$，$\overline{BQ}=\overline{BC}+\overline{CQ}=4+2=6$。
4. 4

   相減得到 PQ

   $P$、$Q$ 都在 $\overline{BG}$ 上，且 $\overline{BP}=3$、$\overline{BQ}=6$，由圖可知 $P$ 在 $Q$ 上方，所以 $\overline{PQ}=\overline{BQ}-\overline{BP}=6-3=3$ 公分。故選 (D)。

關鍵觀念：#正方形 #相似三角形 #交點