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111學年鷺江國中第1次段考數學 第16題 詳解

角平分線與相似性質判斷 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，△ABC\triangle ABC 中，AB‾=AC‾\overline{AB}=\overline{AC}，∠A=36°\angle A=36°，DD 點在 AC‾\overline{AC} 上，且 BD‾\overline{BD} 平分 ∠ABC\angle ABC，則 △ABC∼△BDC\triangle ABC\sim\triangle BDC 是根據下列哪一個相似性質？
(A) SSS
(B) AAA
(C) SAS
(D) RHS
△ABC 中，A 在頂端，B 在左下角、C 在右下角；AB、AC 兩邊長度相等（等腰三角形）；D 在 AC 邊上（靠近 C），並畫出 BD 連接 B 與 D。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先算出兩個底角

    △ABC\triangle ABC 中 AB‾=AC‾\overline{AB}=\overline{AC}，是等腰三角形，兩個底角相等。已知 ∠A=36∘\angle A=36^\circ，所以 ∠ABC=∠ACB=180∘−36∘2=72∘\angle ABC=\angle ACB=\dfrac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ。
  2. 2

    角平分線切一半

    BD‾\overline{BD} 平分 ∠ABC\angle ABC，所以 ∠ABD=∠DBC=72∘2=36∘\angle ABD=\angle DBC=\dfrac{72^\circ}{2}=36^\circ。
  3. 3

    列出小三角形的三個角

    △BDC\triangle BDC 中，∠DBC=36∘\angle DBC=36^\circ，而 ∠BCD\angle BCD 就是 ∠ACB=72∘\angle ACB=72^\circ（同一個角），於是 ∠BDC=180∘−36∘−72∘=72∘\angle BDC=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ。△ABC\triangle ABC 的三個角是 36∘36^\circ、72∘72^\circ、72∘72^\circ，△BDC\triangle BDC 也是 36∘36^\circ、72∘72^\circ、72∘72^\circ。
  4. 4

    判斷用到的是哪個性質

    兩個三角形三組對應角分別相等：∠A=∠DBC=36∘\angle A=\angle DBC=36^\circ、∠ABC=∠BDC=72∘\angle ABC=\angle BDC=72^\circ、∠ACB=∠BCD=72∘\angle ACB=\angle BCD=72^\circ。整段推理從頭到尾只比對角度，一條邊長都沒用到，因此依據的是 AAA 相似性質。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#角平分線 #等腰三角形 #相似性質

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常見卡點
題目問的是「根據哪一個相似性質」，不是要你證明相似，所以判斷方法很單純：回頭檢查推理過程中到底「用了什麼」。這題只算角度，完全沒有量邊，所以是 AAA。若因為題目給了 AB‾=AC‾\overline{AB}=\overline{AC} 就以為用到邊而挑 SAS，那就搞混了——等腰條件是用來求底角度數的，最後配對相似時仍然只比角。另外 RHS 只適用於直角三角形，這題沒有直角，可以直接排除。

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