111學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   從分解式讀出整除條件

   $4\square24=2^a\times3^b\times11^c$ 且 $a$、$b$、$c$ 都是正整數，代表這個四位數同時被 $2$、$3$、$11$ 整除。個位是 $4$，被 $2$ 整除已經沒問題，關鍵在 $3$ 和 $11$。
2. 2

   用 11 的倍數判別法定出空格

   先用 $3$ 的倍數判別法縮小範圍。設空格的數字是 $d$，四位數由左到右是 $4$、$d$、$2$、$4$，各位數字和為 $4+d+2+4=10+d$，要是 $3$ 的倍數，所以 $d$ 只能是 $2$、$5$、$8$，候選只剩 $4224$、$4524$、$4824$ 三個。再逐一除以 $11$：$4224\div11=384$ 整除；$4524\div11$ 餘 $3$、$4824\div11$ 餘 $6$，都除不盡。所以這個四位數是 $4224$。
3. 3

   檢查 3 並做分解

   這個數是 $4224$。各位數字和 $4+2+2+4=12$ 是 $3$ 的倍數，被 $3$ 整除也成立。開始短除：$4224\div2=2112$、$\div2=1056$、$\div2=528$、$\div2=264$、$\div2=132$、$\div2=66$、$\div2=33$，共除了 $7$ 次 $2$；剩下 $33=3\times11$。
4. 4

   算出 a+b+c

   所以 $4224=2^7\times3\times11$，也就是 $a=7$、$b=1$、$c=1$。驗算 $2^7=128$，$128\times33=4224$，沒錯。因此 $a+b+c=7+1+1=9$。

關鍵觀念：#質因數分解 #標準分解式