111學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

逐步解析

1. 1

   把缺的質因數補成 0 次方

   三個數是 $3^2\times5^2\times11$、$3^2\times7\times11^2$、$5^3\times7\times11^2$。一起出現過的質數有 $3$、$5$、$7$、$11$ 四種，把沒出現的補成 $0$ 次方就好比較：第一個是 $3^2\times5^2\times7^0\times11^1$，第二個是 $3^2\times5^0\times7^1\times11^2$，第三個是 $3^0\times5^3\times7^1\times11^2$。
2. 2

   最大公因數取最低次方

   逐個質因數取三者中最小的指數：$3$ 的指數是 $2$、$2$、$0$，最小為 $0$；$5$ 的指數是 $2$、$0$、$3$，最小為 $0$；$7$ 的指數是 $0$、$1$、$1$，最小為 $0$；$11$ 的指數是 $1$、$2$、$2$，最小為 $1$。所以最大公因數是 $11^1=11$。
3. 3

   換個說法理解

   講得白話一點：第三個數裡沒有 $3$，第二個數裡沒有 $5$，第一個數裡沒有 $7$，所以這三個質因數都不可能是三個數的公因數。只有 $11$ 三個數都含有，而含得最少的是第一個數的 $11^1$，因此最大公因數就是 $11$。
4. 4

   最小公倍數取最高次方

   再逐個取最大的指數：$3$ 取 $2$、$5$ 取 $3$、$7$ 取 $1$、$11$ 取 $2$。所以最小公倍數是 $3^2\times5^3\times7\times11^2$。
5. 5

   檢查兩個答案

   $11$ 能整除三個數，而且再大一點的數（例如 $11^2$）因為第一個數只有 $11^1$ 就整除不了，所以最大公因數確實是 $11$。$3^2\times5^3\times7\times11^2$ 的每個指數都不小於三個數對應的指數，所以三個數都能整除它，也不能再小。兩個答案分別是 $11$ 與 $3^2\times5^3\times7\times11^2$。

關鍵觀念：#最大公因數 #最小公倍數 #標準分解式