111學年鷺江國中第2次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把最大公因數提出來

   最大公因數是 $12$，所以甲、乙都含有因數 $12$，可以設甲 $=12\times m$、乙 $=12\times n$。這裡的 $m$、$n$ 必須互質——如果 $m$、$n$ 還有大於 $1$ 的公因數，那個因數也會被提進去，最大公因數就不只 $12$ 了。
2. 2

   由乘積求出 m 乘 n

   甲 $\times$ 乙 $=(12\times m)\times(12\times n)=144\times m\times n=864$，所以 $m\times n=864\div144=6$。
3. 3

   列出互質的組合

   乘積為 $6$ 的正整數組合有 $1\times6$ 和 $2\times3$ 兩種，$1$ 與 $6$ 互質、$2$ 與 $3$ 也互質，兩組都可用。因為甲 $>$ 乙，取較大的給 $m$：$(m,n)=(6,1)$ 時甲 $=12\times6=72$、乙 $=12\times1=12$；$(m,n)=(3,2)$ 時甲 $=12\times3=36$、乙 $=12\times2=24$。
4. 4

   驗算後取最大

   檢查第一組：$72\times12=864$，而 $72$ 與 $12$ 的最大公因數是 $12$，合格。檢查第二組：$36\times24=864$，$36$ 與 $24$ 的最大公因數是 $12$，也合格。兩組都符合題意，題目要的是甲數最大，所以甲數最大是 $72$。

關鍵觀念：#最大公因數 #因數