111學年鷺江國中第1次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看懂這張展開圖

   圖(四)是六個邊長 $1$ 單位的正方形排成上下兩排、每排三格，下排相對上排整整往右錯開兩格，兩排只在中間那一直行重疊一格（上排最右格的正下方就是下排最左格）。把上排三格由左至右叫做甲乙丙，下排三格由左至右叫做丁戊己，其中丁就緊貼在丙的正下方。$A$ 在甲的左上角，$B$ 在己的右下角。
2. 2

   立方體上只有三種距離

   邊長 $1$ 的正立方體，任兩個頂點之間只有三種可能：同一條稜的兩端，距離 $1$；同一個面上的對角，距離 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；一頭一尾的體對角線，距離 $\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$。所以只要判斷 $A$、$B$ 摺合之後是哪一種關係。
3. 3

   把六格摺成六個面

   以丙當底面（它是上下兩排唯一重疊的那一直行）。上排：乙沿著乙丙的交線立起來成為一個側面，甲再摺過去蓋成頂面。下排：丁沿著丙丁的交線立起來成為另一個側面，戊、己接著依序摺過去，成為其餘兩個側面。六格剛好一格對一面，確認這張圖真的摺得成一個正立方體。
4. 4

   追蹤兩點的落點

   摺好之後，甲變成頂面，己變成和頂面相鄰的一個側面，兩者共用一條稜。$A$ 原本在甲的角上、$B$ 原本在己的角上，摺合之後它們剛好停在這條共用稜的兩個端點上。不放心的話，照著圖(四)剪一張紙實際摺一次，$A$ 和 $B$ 一定落在同一條邊的兩頭。 為什麼是「同一條稜的兩端」：把六面依展開圖摺起來後，$A$ 這個頂點是甲、己、戊三個面交會的角，$B$ 是甲、己、乙三個面交會的角；兩者共有甲與己兩個面，而兩個面相交就是一條稜，所以 $A$、$B$ 必定是這條稜的兩個端點，距離就是一個邊長 $1$。
5. 5

   讀出答案

   既然 $A$、$B$ 是同一條稜的兩個端點，兩點的最短距離就是正立方體的邊長 $1$ 單位。故選 (D)。

關鍵觀念：#正立方體 #展開圖 #空間距離