111學年鷺江國中第3次段考數學 第2題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先數層數並找出三條摺線

   正方形先沿鉛直中線把右半往左摺、再沿水平中線把下半往上摺，紙就剩下原來的左上角那一小塊，此時是 $4$ 層；第三次沿這一小塊的對角線再摺一次，變成 $8$ 層的直角三角形。三條摺線分別是紙的鉛直中線、水平中線和一條對角線，它們有個共同點：都通過正方形的中心。
2. 2

   找出紙的中心跑到哪個角

   第一摺留下左半，鉛直中線就成了這一半的右邊界；第二摺留下上半，水平中線就成了它的下邊界。所以摺兩次後的小正方形，右下角正好是原正方形的中心。第三摺沿的那條對角線，一端就落在這個右下角，這也說明它正是原正方形的一條對角線。
3. 3

   剪掉的是中心附近那一塊

   最後在斜邊中段下刀、把右邊的小角丟掉，丟掉的那一塊正好含有剛才找到的右下角，也就是紙的中心。剪刀一次穿過 $8$ 層，攤開後中心周圍會出現 $8$ 塊全等的缺口拼成一個洞，外圍的正方形則完整保留。所以正確的圖一定是「正方形中間挖了一個洞」。
4. 4

   用對稱性先刷掉兩個選項

   三條摺線都通過中心，因此攤開後的洞必須同時對鉛直中線、水平中線和兩條對角線這四條線都對稱。(C) 是一個斜放的平行四邊形，這四條線一條也不對稱；(D) 是上下較尖的菱形，雖然對鉛直、水平中線對稱，卻對兩條對角線不對稱。兩個都不可能，剩下 (A)、(B) 兩個四角星進入決賽。
5. 5

   尖角朝哪裡由剪得多深決定

   回到摺好的直角三角形：以右下角（紙的中心）為起點，剪刀在斜邊上切到的那一點比較遠，在底邊上切到的那一點比較近。斜邊躺在紙的對角線上、底邊躺在紙的水平中線上，所以這個洞沿對角線方向挖得深、沿上下左右方向挖得淺。尖角會指向正方形的四個角落，凹口落在四邊的中點。(A) 的尖角朝上下左右，正好相反；(B) 的尖角朝四個角落，凹口在上下左右，才對。故選 (B)。

關鍵觀念：#圖形摺疊 #對稱圖形