111學年鷺江國中第3次段考數學 第3題 詳解

逐步解析

1. 1

   分清原敘述與逆敘述

   前半句「平行四邊形的對角線互相平分」是性質，本來就對。題目真正要判斷的是後半句這個逆敘述：對角線互相平分的四邊形，一定是平行四邊形嗎？
2. 2

   設好條件

   設四邊形 $ABCD$ 的兩條對角線交於 $O$，且互相平分，即 $\overline{AO}=\overline{CO}$、$\overline{BO}=\overline{DO}$。
3. 3

   用全等推出一組平行

   在 $\triangle AOB$ 與 $\triangle COD$ 中，$\overline{AO}=\overline{CO}$、$\angle AOB=\angle COD$（對頂角）、$\overline{BO}=\overline{DO}$，由 SAS 得兩三角形全等。於是 $\angle BAO=\angle DCO$，這是 $\overline{AB}$、$\overline{CD}$ 被 $\overline{AC}$ 截出的內錯角，相等就表示 $\overline{AB}\parallel\overline{CD}$。
4. 4

   同法推出另一組

   同理 $\triangle AOD\cong\triangle COB$，可得 $\angle DAO=\angle BCO$，於是 $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$。兩雙對邊都平行，依定義就是平行四邊形。所以本題敘述正確，應選「○」。

關鍵觀念：#平行四邊形 #逆命題判斷