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112學年新莊國中第1次段考數學 第23題 詳解

等腰三角形摺疊相似證明與求長 · 非選 · 題目出處：112 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學領域（新北市立新莊國民中學）

答案(1) 在 △CBD\triangle CBD 與 △ABC\triangle ABC 中：∠ABC=72°=∠ACB\angle ABC=72°=\angle ACB（等腰三角形底角相等）；摺疊使 ∠DCB=∠DCB′\angle DCB=\angle DCB'，而 ∠DCB+∠DCB′=∠ACB=72°\angle DCB+\angle DCB'=\angle ACB=72°，故 ∠DCB=36°=∠CAB\angle DCB=36°=\angle CAB；又 ∠DBC=∠ABC\angle DBC=\angle ABC（同一角）；故 △CBD∼△ABC\triangle CBD\sim\triangle ABC（AA 相似）。 (2) 設 CD‾=x=BC‾=B′C‾\overline{CD}=x=\overline{BC}=\overline{B'C}，則 AB′‾=B′D‾=10−x\overline{AB'}=\overline{B'D}=10-x；由 △CBD∼△ABC\triangle CBD\sim\triangle ABC 得 CB‾:AB‾=BD‾:BC‾\overline{CB}:\overline{AB}=\overline{BD}:\overline{BC}，即 x:10=(10−x):xx:10=(10-x):x，化簡得 x2+10x−100=0x^2+10x-100=0，解得 x=−5±55x=-5\pm5\sqrt5（x=−5−55x=-5-5\sqrt5 不合，捨去），故 CD‾=55−5\overline{CD}=5\sqrt5-5。看逐步解析 ↓

題目
二、非選題(共兩題，每題66分，合計1212分)
注意：請用「黑色墨水的筆」寫在答案卷上相應的欄位內，違者扣總分1010分。
若ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0，則x=−b±b2−4ac2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
1. 如圖，等腰△ABC\triangle ABC中，AB‾=AC‾=10\overline{AB}=\overline{AC}=10，∠A=36°\angle A=36°。今將BC‾\overline{BC}沿CD‾\overline{CD}對摺，使BC‾\overline{BC}與B′C‾\overline{B'C}重合，則：
(1) 證明△CBD∼△ABC\triangle CBD\sim\triangle ABC。(33分)
(2) CD‾=?\overline{CD}=?(33分)
等腰三角形ABC，A在頂端、B在左下、C在右下（AB=AC）。D在AB邊上（介於A、B之間，較靠近A）。B'在AC邊上（介於A、C之間，較靠近A）。D與C之間、D與B'之間各畫有一條線段，另外C與B'之間也畫有一條線段，構成D、B'、C三點相連的三角形，疊在原三角形內部。

逐步解析

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答案已經在上面了。想馬上弄懂為什麼，可以直接問 邏輯貓頭鷹。

答案
(1) 在 △CBD\triangle CBD 與 △ABC\triangle ABC 中：∠ABC=72°=∠ACB\angle ABC=72°=\angle ACB（等腰三角形底角相等）；摺疊使 ∠DCB=∠DCB′\angle DCB=\angle DCB'，而 ∠DCB+∠DCB′=∠ACB=72°\angle DCB+\angle DCB'=\angle ACB=72°，故 ∠DCB=36°=∠CAB\angle DCB=36°=\angle CAB；又 ∠DBC=∠ABC\angle DBC=\angle ABC（同一角）；故 △CBD∼△ABC\triangle CBD\sim\triangle ABC（AA 相似）。 (2) 設 CD‾=x=BC‾=B′C‾\overline{CD}=x=\overline{BC}=\overline{B'C}，則 AB′‾=B′D‾=10−x\overline{AB'}=\overline{B'D}=10-x；由 △CBD∼△ABC\triangle CBD\sim\triangle ABC 得 CB‾:AB‾=BD‾:BC‾\overline{CB}:\overline{AB}=\overline{BD}:\overline{BC}，即 x:10=(10−x):xx:10=(10-x):x，化簡得 x2+10x−100=0x^2+10x-100=0，解得 x=−5±55x=-5\pm5\sqrt5（x=−5−55x=-5-5\sqrt5 不合，捨去），故 CD‾=55−5\overline{CD}=5\sqrt5-5。

關鍵觀念：#等腰三角形 #相似三角形證明 #摺疊

還是卡住嗎？

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