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112學年鷺江國中第1次段考數學 第14題 詳解

作相似三角形說法判斷 · 單選 · 題目出處：112 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
小霆和小鈞對於「已知 △ABC\triangle ABC中，AC‾=10\overline{AC}=10、∠A=80°\angle A=80°、∠B=70°\angle B=70°，作出一個與 △ABC\triangle ABC相似的三角形」說法如下。小霆：作 △DEF\triangle DEF，使得 DF‾=5\overline{DF}=5，∠D=40°\angle D=40°，∠E=35°\angle E=35°，對應角與對應邊剛好都是 12\dfrac{1}{2} 倍，所以 △DEF\triangle DEF 和 △ABC\triangle ABC相似。小鈞：作 △DEF\triangle DEF，使得 DF‾=5\overline{DF}=5，∠D=80°\angle D=80°，∠F=30°\angle F=30°，利用AA相似性質就可以知道 △DEF\triangle DEF和 △ABC\triangle ABC相似。判斷他們的說法是否正確 (A)小霆說法正確 (B)小鈞說法正確 (C)兩人說法都正確 (D)兩人說法都錯誤

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先把三角形的角補齊

    △ABC\triangle ABC 中 ∠A=80°\angle A=80°、∠B=70°\angle B=70°，由內角和得 ∠C=180°−80°−70°=30°\angle C=180°-80°-70°=30°。所以 △ABC\triangle ABC 的三個角是 80°80°、70°70°、30°30°。
  2. 2

    檢查小霆的說法

    小霆作的 △DEF\triangle DEF 中 ∠D=40°\angle D=40°、∠E=35°\angle E=35°，於是 ∠F=180°−40°−35°=105°\angle F=180°-40°-35°=105°。三個角是 40°40°、35°35°、105°105°，和 80°80°、70°70°、30°30° 沒有任何一組對得上。
  3. 3

    點出小霆錯在哪

    小霆把「邊縮一半」的想法也套到角上。相似圖形只有對應邊會按比例縮放，對應角必須「相等」而不是「成比例」。角一旦變了，形狀就變了，所以小霆的說法錯誤。
  4. 4

    檢查小鈞的說法

    小鈞作的 △DEF\triangle DEF 中 ∠D=80°=∠A\angle D=80°=\angle A，∠F=30°=∠C\angle F=30°=\angle C。兩組角分別相等，由 AA 相似性質可得 △DEF∼△ABC\triangle DEF\sim\triangle ABC（DD 對 AA、EE 對 BB、FF 對 CC）。順帶檢查：∠E=180°−80°−30°=70°=∠B\angle E=180°-80°-30°=70°=\angle B，第三組角也自動相等。
  5. 5

    下結論

    小霆錯、小鈞對，故選 (B)。補充一點：小鈞多給的 DF‾=5\overline{DF}=5 只是決定畫出來的大小，AA 相似根本不需要邊長條件，寫不寫都不影響判定。
答案
(B)

關鍵觀念：#相似三角形 #AA相似性質

常見卡點
小霆的說法聽起來很順：邊縮一半、角也縮一半，整個三角形就是「縮小版」。但這正是相似最大的誤解——縮放只作用在邊長上，角度完全不變。誤選 (C) 兩人都對的同學，就是沒看穿「對應角剛好是 12\dfrac{1}{2} 倍」這句話本身就違反相似的定義。另外小霆給的 DF‾=5\overline{DF}=5 確實是 AC‾=10\overline{AC}=10 的一半，這個正確的邊長條件很容易讓人放鬆警戒。

還是卡住嗎？

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