112學年鷺江國中第1次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把 PQR 的角補齊

   圖上 $\triangle PQR$ 標了 $\overline{PQ}=6$、$\overline{PR}=6$，以及 $\angle Q=75°$。因為 $\overline{PQ}=\overline{PR}$，這是以 $P$ 為頂角的等腰三角形，兩底角相等，所以 $\angle R=\angle Q=75°$，$\angle P=180°-75°-75°=30°$。
2. 2

   抓住要比對的特徵

   整理成一句話：$\triangle PQR$ 是「兩邊等長、而且這兩邊所夾的角是 $30°$」的三角形，三個角為 $30°$、$75°$、$75°$。要和它相似，只要出現同樣的特徵就行——兩邊等長且夾角 $30°$（SAS 相似），或三個角是 $30°$、$75°$、$75°$。
3. 3

   看 (A) 這個三角形

   (A) 這個三角形左上那一邊標 $5$、底邊也標 $5$，而 $75°$ 就標在這兩邊相交的左下頂點，正是兩邊的夾角。兩腰 $5$、$5$ 夾 $75°$，另外兩個角各為 $\dfrac{180°-75°}{2}=52.5°$，三個角是 $75°$、$52.5°$、$52.5°$，和 $30°$、$75°$、$75°$ 對不上，不相似。
4. 4

   看 (C) 這個三角形

   (C) 三邊都標 $5$，是正三角形，三個角都是 $60°$。$60°$、$60°$、$60°$ 和 $30°$、$75°$、$75°$ 完全不同，不相似。
5. 5

   看 (D) 這個三角形

   (D) 標 $5$ 的是底邊和右邊這兩條，它們相交在右下頂點；但 $30°$ 卻標在左下頂點，並不是這兩邊的夾角。既然底邊與右邊等長，它們的對角也相等：左下角 $30°$ 的對邊是右邊那條 $5$，而底邊那條 $5$ 的對角是右上角，兩邊等長所以右上角也是 $30°$，剩下右下角 $=180°-30°-30°=120°$。三個角是 $30°$、$30°$、$120°$，不相似。
6. 6

   確認 (B)

   (B) 這個三角形上面那一邊標 $5$、底邊標 $5$，而 $30°$ 就標在這兩邊相交的左端點，正好是兩邊的夾角。對照 $\triangle PQR$：$5:6=5:6$ 兩組對應邊成比例，夾角都是 $30°$，由 SAS 相似可知它與 $\triangle PQR$ 相似，相似比 $5:6$。故選 (B)。

關鍵觀念：#相似三角形 #SAS相似判定