112學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先標清楚長方形的邊

   圖中 $A$ 在左上、$D$ 在右上、$B$ 在左下、$C$ 在右下。$\overline{AD}$ 與 $\overline{BC}$ 是一組對邊，所以 $\overline{AD}=\overline{BC}=9$；$\overline{AB}$ 與 $\overline{DC}$ 是另一組對邊，所以 $\overline{DC}=\overline{AB}=6$。$E$ 在 $\overline{AB}$ 上、$F$ 在 $\overline{AD}$ 上。
2. 2

   找出兩個直角三角形

   連 $\overline{DE}$ 得 $\triangle DAE$，它在 $A$ 處是長方形的角，$\angle DAE=90°$；連 $\overline{CF}$ 得 $\triangle CDF$，它在 $D$ 處也是長方形的角，$\angle CDF=90°$。兩個都是直角三角形，這是第一組相等的角。
3. 3

   用垂直找出第二組相等的角

   設 $\overline{DE}$ 與 $\overline{CF}$ 交於 $G$，因為兩線垂直，$\angle DGF=90°$。在 $\triangle DGF$ 中，$\angle FDG+\angle DFG=90°$，而 $\angle FDG$ 就是 $\angle ADE$，$\angle DFG$ 就是 $\angle DFC$。另一方面在直角三角形 $CDF$ 中，$\angle DFC+\angle DCF=90°$。兩式相比得 $\angle ADE=\angle DCF$。
4. 4

   下相似判斷

   $\triangle DAE$ 與 $\triangle CDF$ 中，$\angle DAE=\angle CDF=90°$、$\angle ADE=\angle DCF$，由 AA 相似性質得 $\triangle DAE\sim\triangle CDF$，對應頂點是 $D$ 對 $C$、$A$ 對 $D$、$E$ 對 $F$。
5. 5

   寫出比值

   $\overline{DE}$ 是 $\triangle DAE$ 的斜邊，對應的是 $\triangle CDF$ 的斜邊 $\overline{CF}$；而 $\overline{DA}$ 對應 $\overline{CD}$。所以 $\dfrac{\overline{DE}}{\overline{CF}}=\dfrac{\overline{DA}}{\overline{CD}}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$。故選 (A)。
6. 6

   看清楚誤選 (B) 的原因

   (B) $\dfrac{2}{3}$ 就是把對應關係顛倒，算成 $\dfrac{\overline{CD}}{\overline{DA}}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$。寫比值時要盯緊題目問的是 $\dfrac{\overline{DE}}{\overline{CF}}$，分子在 $\triangle DAE$ 裡，分母在 $\triangle CDF$ 裡，順序不能對調。

關鍵觀念：#矩形 #相似三角形 #垂直線段比例