112學年鷺江國中第1次段考數學 第24題 詳解

答案(1) $44$ (2) $100°$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   先看懂這是放大

   $O$ 在四邊形外，連 $\overline{OA}$ 並延伸到 $A'$，其餘三點同理，且四組都滿足 $\overline{OA}:\overline{OA'}=1:2$。以相鄰兩點為例：$\triangle OAB$ 與 $\triangle OA'B'$ 共用 $\angle O$，又 $\overline{OA}:\overline{OA'}=\overline{OB}:\overline{OB'}=1:2$，由 SAS 相似得兩者相似，所以 $\overline{AB}:\overline{A'B'}=1:2$。四組邊都這樣推，可知四邊形 $A'B'C'D'$ 是四邊形 $ABCD$ 以 $O$ 為中心放大 $2$ 倍的圖形，兩者相似，相似比 $1:2$。
2. 2

   第一小題第一步：求原四邊形周長

   由 $\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CD}:\overline{DA}=4:2:3:2$，設一份為 $t$。$\overline{CD}$ 佔 $3$ 份，所以 $3t=6$，$t=2$。於是四邊形 $ABCD$ 的周長 $=(4+2+3+2)\times t=11\times 2=22$。
3. 3

   第一小題第二步：放大周長

   相似圖形的周長比等於相似比，所以四邊形 $ABCD$ 的周長比四邊形 $A'B'C'D'$ 的周長 $=1:2$。因此四邊形 $A'B'C'D'$ 的周長 $=22\times 2=44$。第一小題答案為 $44$。
4. 4

   第二小題：角度不變

   相似圖形的對應角一定相等，放大只改變大小、不改變形狀。$\angle BCD$ 的對應角正是 $\angle B'C'D'$（$B$ 對 $B'$、$C$ 對 $C'$、$D$ 對 $D'$），所以 $\angle B'C'D'=\angle BCD=100°$。第二小題答案為 $100°$。
5. 5

   把兩小題答案整理好

   第一小題：四邊形 $A'B'C'D'$ 的周長為 $44$。第二小題：$\angle B'C'D'=100°$。兩題的依據分別是「周長比等於相似比」與「對應角相等」，這正是相似圖形的兩條基本性質。

關鍵觀念：#位似變換 #相似多邊形

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