112學年鷺江國中第1次段考數學 第23題 詳解

答案(1) $\dfrac{3}{5}$ (2) $\dfrac{40}{3}$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   把圖分成兩層來看

   圖上 $A$ 在頂端、$B$ 在左下、$C$ 在右下，邊 $\overline{AB}$ 上由 $A$ 往 $B$ 依序是 $A$、$F$、$D$、$B$，$E$ 在邊 $\overline{AC}$ 上。兩組平行剛好各管一層：$\overline{FE}\parallel\overline{DC}$ 發生在 $\triangle ADC$ 裡，$\overline{DE}\parallel\overline{BC}$ 發生在 $\triangle ABC$ 裡。兩個小題分別用其中一組。
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   第一小題：用內層的平行

   在 $\triangle ADC$ 中，$F$ 在 $\overline{AD}$ 上、$E$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $\overline{FE}\parallel\overline{DC}$。由平行線截三角形，兩邊被截得的比相同：$\overline{AE}:\overline{EC}=\overline{AF}:\overline{FD}=3:5$。所以第一小題的答案是 $\overline{AE}:\overline{EC}$ 的比值 $=\dfrac{3}{5}$。
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   第二小題第一步：搬到外層

   在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $\overline{AB}$ 上、$E$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $\overline{DE}\parallel\overline{BC}$。同樣由平行線截三角形：$\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC}$。而上一步已經算出 $\overline{AE}:\overline{EC}=3:5$，所以 $\overline{AD}:\overline{DB}=3:5$。
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   第二小題第二步：先補上 AD

   注意 $\overline{AD}$ 不是 $3$，而是 $\overline{AF}$ 加上 $\overline{FD}$：$\overline{AD}=3+5=8$。代入 $8:\overline{DB}=3:5$，交叉相乘得 $3\times\overline{DB}=8\times 5=40$，所以 $\overline{BD}=\dfrac{40}{3}$。
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   整理兩小題的答案

   第一小題：$\overline{AE}:\overline{EC}$ 的比值為 $\dfrac{3}{5}$。第二小題：$\overline{BD}=\dfrac{40}{3}$。檢查一下 $\overline{AD}:\overline{DB}=8:\dfrac{40}{3}=24:40=3:5$，和第一小題的比一致，答案沒問題。

關鍵觀念：#平行線截三角形 #比例線段

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