112學年鷺江國中第3次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

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   先確認真的有兩根

   $2x^2-9x+6=0$ 的二次項係數是 $2$、一次項係數是 $-9$、常數項是 $6$。判別式 $(-9)^2-4\times2\times6=81-48=33>0$，所以有兩個相異的實數根，題目說的 $a$ 和 $b$ 都存在。（注意這裡的 $a$、$b$ 是題目取的根的名字，不是係數。）
2. 2

   用公式解求出兩根

   把係數代進公式解，分子是「一次項係數變號 $\pm$ 根號判別式」，分母是二次項係數的 $2$ 倍：$x=\dfrac{9\pm\sqrt{33}}{2\times2}=\dfrac{9\pm\sqrt{33}}{4}$。不妨令 $a=\dfrac{9+\sqrt{33}}{4}$、$b=\dfrac{9-\sqrt{33}}{4}$。
3. 3

   兩根相乘用平方差

   $ab=\dfrac{(9+\sqrt{33})(9-\sqrt{33})}{4\times4}=\dfrac{9^2-(\sqrt{33})^2}{16}=\dfrac{81-33}{16}=\dfrac{48}{16}=3$。
4. 4

   不解也能看出來

   更快的方法是自己把式子還原：如果兩根是 $a$ 和 $b$，那麼 $2x^2-9x+6$ 可以寫成 $2(x-a)(x-b)$。展開右邊得 $2\left[x^2-(a+b)x+ab\right]=2x^2-2(a+b)x+2ab$。比較常數項得 $2ab=6$，所以 $ab=3$，和上面算的一樣。
5. 5

   整理答案並提醒

   這一格的答案是 $ab=3$。最常見的錯是看到常數項 $6$ 就直接寫 $ab=6$，忘了首項係數是 $2$：還原式子時整個括號外面多了一個 $2$，常數項要再除以 $2$ 才是 $ab$。這題全對才給分，數字要寫對。

關鍵觀念：#公式解 #兩根乘積