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112學年鷺江國中第3次段考數學 第9題 詳解

找出錯誤推理步驟 · 單選 · 題目出處：112 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
夏史仁同學某天偶然發現一隻蚊子的重量等於一隻豬的重量。以下是他推理的過程：
已知一隻蚊子重量等於xx公斤，一隻豬的重量等於yy公斤
設x+y=2kx+y=2k，則x−2k=−yx-2k=-y……①　　x=−y+2kx=-y+2k……②
①×②　⇒　x2−2kx=y2−2kyx^2-2kx=y^2-2ky……③
　⇒　x2−2kx+k2=y2−2ky+k2x^2-2kx+k^2=y^2-2ky+k^2……④
　⇒　(x−k)2=(y−k)2(x-k)^2=(y-k)^2……⑤
　⇒　x−k=y−kx-k=y-k……⑥
　⇒　x=yx=y……⑦
試問：夏史仁同學的推理是哪一個式子開始出現錯誤？(A) ④　(B) ⑤　(C) ⑥　(D) ⑦

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先驗前三式

    由 x+y=2kx+y=2k 移項，①式 x−2k=−yx-2k=-y 正確；同一式改成 ②式 x=−y+2kx=-y+2k 也正確。①×② 是兩式左邊相乘、右邊相乘：左邊 (x−2k)×x=x2−2kx(x-2k)\times x=x^2-2kx，右邊 (−y)×(−y+2k)=y2−2ky(-y)\times(-y+2k)=y^2-2ky，所以 ③式 x2−2kx=y2−2kyx^2-2kx=y^2-2ky 沒有問題。
  2. 2

    再驗第四、五式

    ④式是兩邊同時加上 k2k^2，這是等量公理，沒有問題。⑤式左邊 x2−2kx+k2=(x−k)2x^2-2kx+k^2=(x-k)^2、右邊 y2−2ky+k2=(y−k)2y^2-2ky+k^2=(y-k)^2，兩個都是正確的完全平方式，所以 ⑤式 (x−k)2=(y−k)2(x-k)^2=(y-k)^2 也對。
  3. 3

    問題出在第六式

    從 (x−k)2=(y−k)2(x-k)^2=(y-k)^2 只能推得 x−k=y−kx-k=y-k 或 x−k=−(y−k)x-k=-(y-k) 兩種可能。兩個數的平方相等，它們可以相等、也可以互為相反數（例如 32=(−3)23^2=(-3)^2 但 3≠−33\neq-3）。⑥式只寫了前面那一種，把另一半丟掉了，錯誤就是從這裡開始。
  4. 4

    被漏掉的才是真的

    把漏掉的那一支寫出來：x−k=−(y−k)x-k=-(y-k)，整理得 x−k=−y+kx-k=-y+k，也就是 x+y=2kx+y=2k——這正好就是一開始設的條件，本來就成立，所以蚊子和豬其實推不出一樣重。④、⑤都沒錯，⑦只是由 ⑥ 兩邊加 kk 得來，錯誤在 ⑥ 就已經發生，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#等量公理誤用 #開平方誤用

常見卡點
這題考的是「開平方要取正負兩種」這個老規矩，只是把它藏在一長串看起來很嚴謹的推理裡。凡是看到 A2=B2A^2=B^2，正確的下一步永遠是 A=BA=B 或 A=−BA=-B，絕不能只留一支。找錯誤的題目要從頭一式一式驗過去，不要看到結論荒謬就直接指最後一行；錯誤發生的那一式，通常比出現矛盾的那一式更早。

還是卡住嗎？

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