112學年鷺江國中第3次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   由面積反推邊長

   設正三角形的邊長為 $a$。正三角形面積公式 $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=9\sqrt3$，兩邊同除以 $\sqrt3$ 得 $\dfrac{a^2}{4}=9$，所以 $a^2=36$，$a=6$。
2. 2

   算出這個正三角形的高

   正三角形的高會把它切成兩個全等的直角三角形，斜邊是 $6$、短股是 $\dfrac{6}{2}=3$。由畢氏定理得高 $h=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt3$。
3. 3

   正三角形三心合一

   正三角形的外心、內心、重心是同一個點，都落在高上面。既然它同時是重心，就會把高分成 $2:1$ 兩段：靠頂點的那一段是外接圓半徑 $R=\dfrac{2}{3}h=\dfrac{2}{3}\times3\sqrt3=2\sqrt3$；靠底邊的那一段是內切圓半徑 $r=\dfrac{1}{3}h=\dfrac{1}{3}\times3\sqrt3=\sqrt3$。
4. 4

   把兩個半徑相加

   $r+R=\sqrt3+2\sqrt3=3\sqrt3$。其實不必分開算也看得出來：$r$ 和 $R$ 是高被切成的兩段，相加本來就等於整條高 $3\sqrt3$。故選 (B)。

關鍵觀念：#正三角形 #內切圓 #外接圓