112學年鷺江國中第3次段考數學 第17題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先補出第三邊

   $\angle ABC=90°$，所以 $\overline{AC}$ 是斜邊、$\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 是兩股。由畢氏定理 $\overline{BC}=\sqrt{\overline{AC}^2-\overline{AB}^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$。
2. 2

   求內切圓半徑

   設內切圓半徑為 $r$。連 $\overline{IA}$、$\overline{IB}$、$\overline{IC}$ 把 $\triangle ABC$ 分成三塊，每一塊的高都是 $r$，所以 $\triangle ABC$ 面積 $=\dfrac{1}{2}r(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC})=\dfrac{1}{2}r(10+24+26)=30r$。另一方面 $\triangle ABC$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\times10\times24=120$。由 $30r=120$ 得 $r=4$。
3. 3

   算出三角形 AIB 的面積

   $\triangle AIB$ 貼著 $\overline{AB}$，以 $\overline{AB}=10$ 為底，而 $I$ 到 $\overline{AB}$ 的距離正是內切圓半徑 $r=4$。所以 $\triangle AIB=\dfrac{1}{2}\times\overline{AB}\times r=\dfrac{1}{2}\times10\times4=20$。
4. 4

   驗算後作答

   檢查另外兩塊：$\triangle BIC=\dfrac{1}{2}\times24\times4=48$、$\triangle AIC=\dfrac{1}{2}\times26\times4=52$，三塊相加 $20+48+52=120$，正好是 $\triangle ABC$ 的面積，計算無誤。所以 $\triangle AIB$ 的面積是 $20$。故選 (A)。

關鍵觀念：#內心 #直角三角形 #面積

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