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112學年鷺江國中第3次段考數學 第18題 詳解

外心位置與角度比判斷 · 單選 · 題目出處：112 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
若 OO 點為 △ABC\triangle ABC 的外心，且 ∠A:∠B:∠C=3:4:5\angle A:\angle B:\angle C=3:4:5，則 OO 點的位置在 △ABC\triangle ABC 的何處？
(A) △ABC\triangle ABC 的內部 (B) △ABC\triangle ABC 的外部 (C) △ABC\triangle ABC 的斜邊上 (D) 以上皆非

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先把三個角實際算出來

    ∠A:∠B:∠C=3:4:5\angle A:\angle B:\angle C=3:4:5，設 ∠A=3k\angle A=3k、∠B=4k\angle B=4k、∠C=5k\angle C=5k。三角形內角和為 180°180°，所以 3k+4k+5k=12k=180°3k+4k+5k=12k=180°，解得 k=15°k=15°。
  2. 2

    看最大角是什麼角

    代回去得 ∠A=3×15°=45°\angle A=3\times15°=45°、∠B=4×15°=60°\angle B=4\times15°=60°、∠C=5×15°=75°\angle C=5\times15°=75°。三個角都小於 90°90°，所以 △ABC\triangle ABC 是銳角三角形。
  3. 3

    套用外心位置的規則

    外心的位置只看最大角：最大角是銳角時（銳角三角形）外心在三角形內部；最大角是直角時外心在斜邊中點上；最大角是鈍角時外心在三角形外部。這裡最大角 ∠C=75°<90°\angle C=75°<90°，所以外心 OO 落在 △ABC\triangle ABC 的內部。故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#外心 #三角形分類

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常見卡點
看到「3:4:53:4:5」幾乎每個人都會反射性想到直角三角形，於是挑了「在斜邊上」那個選項。但 3:4:53:4:5 是邊長成這個比時才是直角三角形（因為 32+42=523^2+4^2=5^2）；這題給的是角度比，算出來是 45°45°、60°60°、75°75°，最大角只有 75°75°，連直角都沒有，自然也沒有「斜邊」這種東西。讀題時先確認比例講的是邊還是角，這一秒鐘就能救回一題。

還是卡住嗎？

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