112學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   內心到三邊等距

   $I$ 是 $\triangle ABC$ 的內心，也就是內切圓的圓心。內切圓和三邊都相切，所以 $I$ 到 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{AC}$ 的垂直距離全部等於內切圓半徑 $r$。這是整題的關鍵：三塊小三角形的高都一樣。
2. 2

   寫出三塊的底和高

   連 $\overline{IA}$、$\overline{IB}$、$\overline{IC}$，把 $\triangle ABC$ 分成三塊。$\triangle AIB$ 貼著 $\overline{AB}$，以 $\overline{AB}=9$ 為底、高是 $r$；$\triangle BIC$ 貼著 $\overline{BC}$，以 $\overline{BC}=12$ 為底、高是 $r$；$\triangle AIC$ 貼著 $\overline{AC}$，以 $\overline{AC}=15$ 為底、高也是 $r$。
3. 3

   算出面積比

   $\triangle AIB=\dfrac{1}{2}\times9\times r$、$\triangle BIC=\dfrac{1}{2}\times12\times r$、$\triangle AIC=\dfrac{1}{2}\times15\times r$。三者的 $\dfrac{1}{2}$ 和 $r$ 都一樣，約掉後面積比就等於底邊的長度比：$9:12:15$。
4. 4

   化成最簡整數比

   $9:12:15$ 三項同除以最大公因數 $3$，得到 $3:4:5$。所以 $\triangle AIB$ 面積 $:\triangle BIC$ 面積 $:\triangle AIC$ 面積 $=3:4:5$。故選 (C)。

關鍵觀念：#內心 #面積比

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