112學年鷺江國中第3次段考數學 第15題 詳解

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逐步解析

1. 1

   重心分中線的比例

   三角形的重心會把每一條中線都分成 $2:1$ 兩段，靠頂點的那一段是靠對邊中點那一段的兩倍。以中線 $\overline{AD}$ 為例，$\overline{AG}:\overline{GD}=2:1$，整條中線被分成 $3$ 等份，所以 $\overline{GD}=\dfrac{1}{3}\overline{AD}$。
2. 2

   三條中線都是同一招

   同理，$\overline{BG}:\overline{GE}=2:1$，得 $\overline{GE}=\dfrac{1}{3}\overline{BE}$；$\overline{CG}:\overline{GF}=2:1$，得 $\overline{GF}=\dfrac{1}{3}\overline{CF}$。三條中線的情況完全一樣。
3. 3

   把三段加起來

   $\overline{GD}+\overline{GE}+\overline{GF}=\dfrac{1}{3}\overline{AD}+\dfrac{1}{3}\overline{BE}+\dfrac{1}{3}\overline{CF}=\dfrac{1}{3}(\overline{AD}+\overline{BE}+\overline{CF})=\dfrac{1}{3}\times48=16$。這裡不需要知道任何一條中線各自多長，提出 $\dfrac{1}{3}$ 就能直接用總和。
4. 4

   驗算一下再作答

   另外三段 $\overline{AG}+\overline{BG}+\overline{CG}=\dfrac{2}{3}\times48=32$，而 $16+32=48$，正好等於三條中線的總長，沒有算漏也沒有重複。所以 $\overline{GD}+\overline{GE}+\overline{GF}=16$。故選 (B)。

關鍵觀念：#重心 #中線比例

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