112學年鷺江國中第3次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用畢氏定理列式

   $b$ 是斜邊，另外兩邊 $7$ 和 $a$ 是兩股，由畢氏定理得 $7^2+a^2=b^2$，也就是 $b^2-a^2=49$。
2. 2

   因式分解找整數解

   $b^2-a^2=(b+a)(b-a)=49$。因為 $a$、$b$ 都是正整數且 $b>a$，所以 $b+a$ 與 $b-a$ 都是正整數，而且 $b+a>b-a$。$49$ 拆成兩個正整數相乘只有 $1\times49$ 和 $7\times7$ 兩種，後者會讓 $b+a=b-a$，推出 $a=0$ 不合題意。
3. 3

   解出 a 和 b

   所以 $b+a=49$ 且 $b-a=1$。兩式相加得 $2b=50$，$b=25$；兩式相減得 $2a=48$，$a=24$。驗算一下：$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，確實是直角三角形。因此 $a+b=24+25=49$。
4. 4

   判斷 49 是誰的因數

   $a+b=49$，現在檢查四個選項哪一個能被 $49$ 整除：$21\div49$、$25\div49$、$36\div49$ 都不是整數，只有 $49\div49=1$ 是整數。所以 $(a+b)$ 必為 $49$ 的因數。故選 (D)。

關鍵觀念：#畢氏定理 #因數

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