112學年鷺江國中第3次段考數學 第24題 詳解

答案$6$ 單位看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   寫下已知與要求的東西

   已知：$G$ 是直角 $\triangle ABC$ 的重心（直角在 $B$），$\overline{AG}$ 交 $\overline{BC}$ 於 $D$、$\overline{BG}$ 交 $\overline{AC}$ 於 $E$，$\overline{AC}=36$。
   求：$\overline{EG}$ 的長度。
   重心是三條中線的交點，所以 $\overline{AD}$ 與 $\overline{BE}$ 都是中線，$D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點、$E$ 是 $\overline{AC}$ 的中點。
2. 2

   認出「斜邊上的中線」

   $\angle ABC=90°$，所以 $\overline{AC}$ 是 $\triangle ABC$ 的斜邊，而 $E$ 是斜邊 $\overline{AC}$ 的中點，$\overline{BE}$ 正好是從直角頂點 $B$ 拉到斜邊中點的那條中線。
   理由：直角三角形的外心就落在斜邊中點上，所以 $E$ 就是 $\triangle ABC$ 的外心，$\overline{EA}=\overline{EB}=\overline{EC}$ 都是外接圓半徑。
3. 3

   算出中線 BE 的長

   由上一步得「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」，所以
   $\overline{BE}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}=\dfrac{1}{2}\times36=18$。
   注意這裡完全用不到 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 各是多少，題目也沒給。
4. 4

   用重心的 2 比 1 切出 EG

   重心把每一條中線分成 $2:1$，靠頂點的一段是靠對邊中點那一段的兩倍，所以在中線 $\overline{BE}$ 上 $\overline{BG}:\overline{GE}=2:1$，整條被分成 $3$ 等份。
   $\overline{EG}=\dfrac{1}{3}\overline{BE}=\dfrac{1}{3}\times18=6$。
   （順便檢查：$\overline{BG}=\dfrac{2}{3}\times18=12$，而 $12+6=18$ 正好是 $\overline{BE}$。）
5. 5

   卷面上要寫的理由

   非選題只寫一個 $6$ 拿不到全部分數，理由要寫在卷面上。至少要出現這三行：(1) $G$ 為重心，故 $\overline{BE}$ 是中線，$E$ 為斜邊 $\overline{AC}$ 的中點；(2) 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，故 $\overline{BE}=\dfrac{1}{2}\times36=18$；(3) 重心分中線為 $2:1$，故 $\overline{EG}=\dfrac{1}{3}\overline{BE}=\dfrac{1}{3}\times18=6$。最後把結論寫成一行：$\overline{EG}=6$ 單位。

關鍵觀念：#重心 #中線 #直角三角形

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