112學年鷺江國中第3次段考數學 第23題 詳解

答案$120°$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   寫下已知與求證

   已知：$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ACE$ 都是正三角形，$\triangle ABD$ 作在 $\overline{AB}$ 的外側、$\triangle ACE$ 作在 $\overline{AC}$ 的外側，$\overline{CD}$ 與 $\overline{BE}$ 交於 $F$ 點。
   求：$\angle BFC$ 的度數。
   先把角度資料整理出來：正三角形的每個內角都是 $60°$，所以 $\angle DAB=\angle BAC=\angle CAE=60°$，$\overline{AD}=\overline{AB}=\overline{BD}$，$\overline{AC}=\overline{AE}=\overline{CE}$。
2. 2

   湊出兩個一百二十度的角

   $\angle DAC=\angle DAB+\angle BAC=60°+60°=120°$（理由：角的加法）
   $\angle BAE=\angle BAC+\angle CAE=60°+60°=120°$（理由：角的加法）
   所以 $\angle DAC=\angle BAE=120°$。
3. 3

   證明兩個三角形全等

   在 $\triangle DAC$ 與 $\triangle BAE$ 中：
   $\overline{AD}=\overline{AB}$（$\triangle ABD$ 為正三角形）
   $\angle DAC=\angle BAE$（上一步已證，皆為 $120°$）
   $\overline{AC}=\overline{AE}$（$\triangle ACE$ 為正三角形）
   $\therefore\triangle DAC\cong\triangle BAE$（SAS 全等性質）
   $\therefore\angle ACD=\angle AEB$（全等三角形的對應角相等）
4. 4

   把三角形 BFC 的兩個底角換掉

   由圖可知 $\overrightarrow{CD}$ 落在 $\angle ACB$ 的內部、$\overrightarrow{BE}$ 落在 $\angle ABC$ 的內部，所以
   $\angle FCB=\angle ACB-\angle ACD=60°-\angle ACD=60°-\angle AEB$（因為 $\angle ACD=\angle AEB$）
   $\angle FBC=\angle ABC-\angle ABE=60°-\angle ABE$
5. 5

   用三角形內角和收尾

   在 $\triangle BAE$ 中，$\angle ABE+\angle AEB=180°-\angle BAE=180°-120°=60°$。
   在 $\triangle BFC$ 中，由三角形內角和：
   $\angle BFC=180°-\angle FBC-\angle FCB$
   $=180°-(60°-\angle ABE)-(60°-\angle AEB)$
   $=60°+(\angle ABE+\angle AEB)$
   $=60°+60°=120°$
   所以 $\angle BFC=120°$。
6. 6

   卷面上要寫的理由

   非選題只寫一個 $120°$ 拿不到全部分數，理由要寫在卷面上。至少要出現這四行：(1) 三個三角形都是正三角形，每個內角 $60°$，且 $\overline{AD}=\overline{AB}$、$\overline{AC}=\overline{AE}$；(2) $\angle DAC=\angle BAE=60°+60°=120°$；(3) $\triangle DAC\cong\triangle BAE$（SAS），故 $\angle ACD=\angle AEB$；(4) 在 $\triangle BFC$ 中，$\angle BFC=180°-(60°-\angle ABE)-(60°-\angle AEB)=60°+60°=120°$。最後把結論寫成一行：$\angle BFC=120°$。

關鍵觀念：#正三角形 #全等三角形 #角度計算

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