112學年鷺江國中第3次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先畫出對稱軸

   $\overline{AB}=\overline{AC}=5$，$\triangle ABC$ 是等腰三角形。取底邊 $\overline{BC}$ 的中點 $M$ 並連 $\overline{AM}$，由等腰三角形的性質 $\overline{AM}\perp\overline{BC}$，而且 $\overline{BM}=\overline{CM}=\dfrac{6}{2}=3$。
2. 2

   算出高

   在直角 $\triangle ABM$ 中，由畢氏定理 $\overline{AM}=\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{BM}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
3. 3

   外心一定在這條線上

   外心到 $B$、$C$ 等距，所以它一定落在 $\overline{BC}$ 的中垂線上，而 $\overleftrightarrow{AM}$ 正是 $\overline{BC}$ 的中垂線。設外心為 $O$、外接圓半徑為 $R$，則 $O$ 在線段 $\overline{AM}$ 上，且 $\overline{OA}=\overline{OB}=R$，於是 $\overline{OM}=\overline{AM}-\overline{OA}=4-R$。
4. 4

   列畢氏定理解出半徑

   在直角 $\triangle OBM$ 中，$\overline{OB}^2=\overline{BM}^2+\overline{OM}^2$，代入得 $R^2=3^2+(4-R)^2=9+(16-8R+R^2)=25-8R+R^2$。兩邊消去 $R^2$ 得 $0=25-8R$，所以 $R=\dfrac{25}{8}$。（檢查：$\dfrac{25}{8}=3.125<4$，$O$ 的確落在 $\overline{AM}$ 上，合理。）故選 (D)。

關鍵觀念：#外接圓 #等腰三角形