112學年鷺江國中第3次段考數學 第5題 詳解

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先把對應關係排好

   題目要證的是 $\triangle ABC\sim\triangle DCA$，照字母順序，對應頂點是 $A\leftrightarrow D$、$B\leftrightarrow C$、$C\leftrightarrow A$。跟著排出對應邊：$\overline{AB}\leftrightarrow\overline{DC}$、$\overline{BC}\leftrightarrow\overline{CA}$、$\overline{CA}\leftrightarrow\overline{AD}$。判別相似之前，這一步一定要先做。
2. 2

   平行線送來一組等角

   因為 $\overline{BC}\parallel\overline{AD}$，以 $\overline{CA}$ 為截線，$\angle BCA$ 與 $\angle DAC$ 是一組內錯角，所以 $\angle BCA=\angle DAC$。這組角在 $\triangle ABC$ 裡是頂點 $C$ 的角，在 $\triangle DCA$ 裡是頂點 $A$ 的角，照上一步的對應關係 $C\leftrightarrow A$，正好是一對對應角。
3. 3

   檢查夾這組角的兩雙邊

   $\angle BCA$ 的兩邊是 $\overline{CB}$ 與 $\overline{CA}$，$\angle DAC$ 的兩邊是 $\overline{AC}$ 與 $\overline{AD}$。算比值：$\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CA}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{\overline{CA}}{\overline{AD}}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}$，兩個比值相等。
4. 4

   決定用哪一個相似性質

   我們手上是「兩雙對應邊成比例，而且它們的夾角相等」，這正是 SAS 相似的條件，可以斷定 $\triangle ABC\sim\triangle DCA$。注意：只有一組角相等，湊不成 AA；$\overline{DC}$ 的長度題目沒給，第三雙邊查不了，也用不了 SSS。故選 (C)。

關鍵觀念：#相似三角形 #平行線