112學年鷺江國中第3次段考數學 第2題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把三心的位置規則排好

   重心是三條中線的交點、內心是三條角平分線的交點，這兩個點不管三角形是銳角、直角還是鈍角，都一定落在三角形內部。外心就不一定了：銳角三角形的外心在內部，直角三角形的外心在斜邊中點，鈍角三角形的外心在三角形外部。
2. 2

   檢查前兩個敘述

   (A) 重心是三條中線的交點，中線整條都在三角形內部，交點自然也在內部，敘述正確。(B) 內心是內切圓的圓心，內切圓必須整個塞在三角形裡面並和三邊相切，圓心當然在內部，敘述正確。
3. 3

   檢查直角三角形那一項

   (D) 直角三角形的外心落在斜邊中點上。設直角頂點為 $B$、斜邊為 $\overline{AC}$、中點為 $M$，則 $\overline{MA}=\overline{MC}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}$，而由「斜邊上的中線等於斜邊的一半」也有 $\overline{MB}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}$，三個距離相等，所以外接圓半徑恰為斜邊長的一半，敘述正確。
4. 4

   找出錯誤的那一個

   (C) 等腰三角形只規定兩腰等長，完全沒有限制角度。舉個反例：頂角 $120°$、兩底角各 $30°$ 的三角形也是等腰三角形，但它是鈍角三角形，外心會落在底邊之外，也就是三角形的外部。可見等腰三角形的外心不一定在內部，這個敘述是錯的。故選 (C)。

關鍵觀念：#外心 #內心 #重心

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