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112學年鷺江國中第3次段考數學 第3題 詳解

多線段交點中判斷重心位置 · 單選 · 題目出處：112 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(二)，△ABC\triangle ABC 中，DD、EE、FF 三點將 BC‾\overline{BC} 四等分，AG‾:AC‾=1:3\overline{AG}:\overline{AC}=1:3，HH 為 AB‾\overline{AB} 之中點，下列哪一個點為 △ABC\triangle ABC 的重心？
(A) WW (B) XX (C) YY (D) ZZ
△ABC 中，底邊 BC 上由左至右依序有 D、E、F 三點把 BC 四等分（順序 B、D、E、F、C，E 就是 BC 的中點）；G 在 AC 上靠近 A 處（AG:AC=1:3）；H 是 AB 的中點。三角形內部畫有四條線段：A 到 E、C 到 H、B 到 G，以及 E 到 G（E 處 AE 與 EG 形成一個朝上的「V」）。四個交點為：X＝AE 與 BG 的交點、Y＝BG 與 CH 的交點、W＝EG 與 CH 的交點、Z＝AE 與 CH 的交點（Z 在 X 的正下方，X 與 Z 兩點都落在 AE 這條線上）。
圖(二)

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    重心只認中線

    重心是三角形三條中線的交點。中線有兩個條件，缺一不可：一端要在三角形的頂點上，另一端要落在對邊的中點上。所以看到圖(二)裡密密麻麻的線，第一件事不是找交點，而是先把真正的中線挑出來。
  2. 2

    挑出真正的中線

    DD、EE、FF 把 BC‾\overline{BC} 四等分，中間那一點 EE 就是 BC‾\overline{BC} 的中點，所以 AE‾\overline{AE} 是中線。HH 是 AB‾\overline{AB} 的中點，所以 CH‾\overline{CH} 也是中線。至於 GG，題目給 AG‾:AC‾=1:3\overline{AG}:\overline{AC}=1:3，表示 AG‾:GC‾=1:2\overline{AG}:\overline{GC}=1:2，GG 並不是 AC‾\overline{AC} 的中點，所以 BG‾\overline{BG} 不是中線。
  3. 3

    看清楚四個交點各是誰交誰

    圖(二)內部一共畫了四條線段：AE‾\overline{AE}、CH‾\overline{CH}、BG‾\overline{BG}，以及從 EE 拉到 GG 的 EG‾\overline{EG}（EE 那裡有兩條線併在一起，一條往 AA、一條往 GG）。四個交點分別是：XX 為 AE‾\overline{AE} 與 BG‾\overline{BG} 的交點，YY 為 BG‾\overline{BG} 與 CH‾\overline{CH} 的交點，WW 為 EG‾\overline{EG} 與 CH‾\overline{CH} 的交點，ZZ 為 AE‾\overline{AE} 與 CH‾\overline{CH} 的交點。
  4. 4

    兩條中線交出來的就是重心

    三角形的三條中線必定交於同一點，所以只要找到兩條中線的交點，那一點就是重心。ZZ 同時在中線 AE‾\overline{AE} 上與中線 CH‾\overline{CH} 上，ZZ 就是 △ABC\triangle ABC 的重心；XX、YY、WW 都至少用到 BG‾\overline{BG} 或 EG‾\overline{EG} 這種不是中線的線段，都不是重心。故選 (D)。
答案
(D)

關鍵觀念：#重心 #中線

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常見卡點
最容易中招的是把 BG‾\overline{BG} 當成中線。題目寫的是 AG‾:AC‾=1:3\overline{AG}:\overline{AC}=1:3（AG‾\overline{AG} 比的是整條 AC‾\overline{AC}），很多人順手讀成 AG‾:GC‾=1:1\overline{AG}:\overline{GC}=1:1 就認定 GG 是中點，跑去找 AE‾\overline{AE} 與 BG‾\overline{BG} 的交點 XX。實際上 AG‾:GC‾=1:2\overline{AG}:\overline{GC}=1:2，GG 在靠近 AA 的三分之一處。另一個陷阱是看到 BC‾\overline{BC} 被四等分就隨手抓 DD 或 FF 當中點——四等分點裡只有中間的 EE 才是 BC‾\overline{BC} 的中點。

還是卡住嗎？

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